Question

20．已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥DC，AB=DC，E，F(xiàn)，M，N分別是AD，BC，BD，AC的中點．猜想EF與MN的關系，并證明．

Answer 1

分析 連接ME、MF、NE、NF，證出ME是△ABD的中位線，由三角形中位線定理得出ME=$\frac{1}{2}$AB，同理：MF=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$AB，證出ME=MF=EN=FN，得出四邊形EMFN是菱形，由菱形的性質即可得出結論．

解答 解：EF與MN互相垂直且平分；理由如下：
連接ME、MF、NE、NF，如圖所示：
∵E，M分別是AD，BD的中點，
∴ME是△ABD的中位線，
∴ME=$\frac{1}{2}$AB，
同理：MF=$\frac{1}{2}$CD，EN=$\frac{1}{2}$CD，F(xiàn)N=$\frac{1}{2}$AB，
∵AB=DC，
∴ME=MF=EN=FN，
∴四邊形EMFN是菱形，
∴EF與MN互相垂直且平分．

點評 本題考查了三角形中位線定理、菱形的判定與性質；熟練掌握三角形中位線定理，證明四邊形EMFN是菱形是解決問題的關鍵．