Question

7．（1）如圖，將矩形紙片ABCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，BE交AD于點(diǎn)F，求證：BF=DF．
（2）若矩形ABCD中，AB=$\sqrt{3}$，BC=5，現(xiàn)將矩形ABCD沿點(diǎn)B的直線折疊，折痕交線段AD（不含端點(diǎn)）于點(diǎn)H，折疊后，點(diǎn)C，D的對稱點(diǎn)分別是E，G，線段BE交直線AD于點(diǎn)F．圖2是該矩形折疊后的一種情況，請?zhí)骄坎⒔鉀Q以下問題．
①當(dāng)∠GEH=30°時(shí)，求FH的長；
②當(dāng)△BEH為等腰三角形時(shí)，求HD的長．

Answer 1

分析 （1）由折疊的性質(zhì)可得到△ABD≌△EDB，那么∠ADB=∠EBD，所以BF=DF．
（2）①圖1中，由翻折可知FBH=∠HBC=∠FHB所以FB=FH，設(shè)FB=FH=x，在RT△AFB利用勾股定理即可．
②情形一：如圖2，BE=BH=BC=5時(shí)，在RT△ABH中，求出AH即可．情形二：如圖3中，HE=BH時(shí)，只要證明△ABH≌△DCH即可．情形三：如圖4中，EB=EH時(shí)，在RT△HCD中利用勾股定理即可．

解答 （1）證明：由折疊的性質(zhì)知，CD=ED，BE=BC
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AB=CD，∠BAD=90°，
∴AB=DE，BE=AD，
在△ABD與△EDB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=DE}\\{BE=AD}\\{BD=BD}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△EDB（SSS），
∴∠EBD=∠ADB，
∴BF=DF；
（2）①如圖1中，∵∠GEH=∠HCD=30°，∠D=90°，DC=$\sqrt{3}$，
∴DH=1，AH=AD-AD=5-1=4，
∵AD∥CB，
∴∠FBH=∠HBC=∠FHB，
∴FB=FH，設(shè)FB=FH=x，
在RT△ABF中，∵AB²+AF²=BF²，
∴（$\sqrt{3}$）²+（4-x）²=x²，
∴x=$\frac{19}{8}$．
②情形一：如圖2，BE=BH=BC=5時(shí)，

在RT△ABH中，∵AB=$\sqrt{3}$，BH=5，
∴AH=$\sqrt{B{H}^{2}-A{B}^{2}}$=$\sqrt{25-3}$=$\sqrt{22}$，
∴DH=AD-AH=5-$\sqrt{22}$．
情形二：如圖3中，HE=BH時(shí)，

∵EH=HC，
∴HB=HC，
在RT△ABH和RT△DCH中，
$\left\{\begin{array}{l}{HB=HC}\\{AB=DC}\end{array}\right.$
∴△ABH≌△DCH，
∴DH=AH=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{5}{2}$．
情形三：如圖4中，EB=EH時(shí)，

∵EH=HC，
∴HC=EB=BC=4，
在RT△HCD中，∵HC=5，CD=$\sqrt{3}$，
∴HD=$\sqrt{H{C}^{2}-C{D}^{2}}$=$\sqrt{22}$．

點(diǎn)評 本題考查矩形的性質(zhì)、翻折不變性，解題的關(guān)鍵是巧妙利用翻折不變性解決問題，學(xué)會(huì)分類討論，通過這類題目的訓(xùn)練可以提高自己的觀察能力、動(dòng)手能力．