Question

15．如果方程x²+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x₁，x₂，那么x₁+x₂=-p，x₁x₂=q，請(qǐng)根據(jù)以上結(jié)論，解決下列問(wèn)題：
（1）已知a、b是方程x²+15x+5=0的二根，則$\frac{a}+\frac{a}$=43
（2）已知a、b、c滿足a+b+c=0，abc=16，求正數(shù)c的最小值．
（3）結(jié)合二元一次方程組的相關(guān)知識(shí)，解決問(wèn)題：已知$\left\{\begin{array}{l}x={x_1}\\ y={y_1}\end{array}$和$\left\{\begin{array}{l}x={x_2}\\ y={y_2}\end{array}$是關(guān)于x，y的方程組$\left\{\begin{array}{l}{x^2}-y+k=0\\ x-y=1\end{array}$的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)k，使得y₁y₂-$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}$=2？若存在，求出的k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)a，b是x²+15x+5=0的解，求出a+b和ab的值，即可求出$\frac{a}+\frac{a}$的值．
（2）根據(jù)a+b+c=0，abc=16，得出a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，a、b是方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的解，再根據(jù)c²-4•$\frac{16}{c}$≥0，即可求出c的最小值．
（3）運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=1，x₁•x₂=k+1，再解y₁y₂-$\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}$=2，即可求出k的值．

解答 解：（1）∵a、b是方程x²+15x+5=0的二根，
∴a+b=-15，ab=5，
∴$\frac{a}+\frac{a}$=$\frac{（a+b）^{2}-2ab}{ab}$=$\frac{（-1{5）}^{2}-2×5}{5}$=43，
故答案是：43；

（2）∵a+b+c=0，abc=16，
∴a+b=-c，ab=$\frac{16}{c}$，
∴a、b是方程x²+cx+$\frac{16}{c}$=0的解，
∴c²-4•$\frac{16}{c}$≥0，c²-$\frac{{4}^{3}}{c}$≥0，
∵c是正數(shù)，
∴c³-4³≥0，c³≥4³，c≥4，
∴正數(shù)c的最小值是4．

（3）存在，當(dāng)k=-2時(shí)，${y_1}{y_2}-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=2$．
由x²-y+k=0變形得：y=x²+k，
由x-y=1變形得：y=x-1，把y=x-1代入y=x²+k，并整理得：x²-x+k+1=0，
由題意思可知，x₁，x₂是方程x²-x+k+1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故有：
$\left\{\begin{array}{l}{（-1）^2}-4（k+1）＞0\\{x_1}+{x_2}=1\\{x_1}{x_2}=k+1\\{y_1}{y_2}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）\\{y_1}{y_2}-\frac{x_1}{x_2}-\frac{x_2}{x_1}=（{x_1}-1）（{x_2}-1）-\frac{{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-2{x_1}{x_2}}}{{{x_1}{x_2}}}=2\end{array}\right.$
即：$\left\{\begin{array}{l}k＜-\frac{3}{4}\\{k^2}+2k=0\end{array}\right.$
解得：k=-2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．