Question

在直角坐標系中，直線y=x+1與y軸交于點A，按如圖方式作正方形A₁B₁C₁O、A₂B₂C₂C₁、A₃B₃C₁C₂…，A₁、A₂、A₃…在直線y=x+1上，點C₁、C₂、C₃…在x軸上，圖中陰影部分三角形的面積從左導游依次記為S₁、S₂、S₃、…S_n，則S_n的值為　　（用含n的代數式表示，n為正整數）．

Answer 1

2^2n﹣3：∵直線y=x+1，當x=0時，y=1，當y=0時，x=﹣1，

∴OA₁=1，OD=1，

∴∠ODA₁=45°，

∴∠A₂A₁B₁=45°，

∴A₂B₁=A₁B₁=1，

∴S₁=×1×1=，

∵A₂B₁=A₁B₁=1，

∴A₂C₁=2=2¹，

∴S₂=×（2¹）²=2¹

同理得：A₃C₂=4=2²，…，

S₃=×（2²）²=2³

∴S_n=×（2^n﹣1）²=2^2n﹣3

故答案為：2^2n﹣3．