Question

14．2016年1月6日，我國南沙永暑礁新建港口、機場完成試航試飛，將為島礁物資運輸、人員往來、通信導航、救援補給提供便捷支持，使航行和飛行更為安全可靠．如圖所示，永暑礁新建港口在A處，位于港口A的正西方的有一小島B，小島C在小島B的北偏東60°方向，小島C在A的北偏西45°方向；小島D在小島B的北偏東38°方向且滿足∠BCD=37°，港口A和小島C的距離是23$\sqrt{2}$km．
（參考數(shù)據(jù)：sin38°≈$\frac{3}{5}$，tan22°≈$\frac{2}{5}$，tan37°≈$\frac{3}{4}$）
（1）求BC的距離．
（2）求CD的距離．

Answer 1

分析 （1）作CE⊥AB于E，根據(jù)正弦的定義求出CE的長，根據(jù)直角三角形的性質求出BC的長；
（2）作DF⊥BC于F，設DF=xkm，根據(jù)正切的定義用x表示出CF、BF，結合圖形計算即可求出x的值，根據(jù)勾股定理計算即可．

解答 解：（1）作CE⊥AB于E，
由題意得，∠CAE=45°，∠CBE=30°，
∴AE=CE=AC•sin∠CAE=23$\sqrt{2}$×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=23km，
∴BC=2CE=46km，
答：BC的距離為46km；
（2）作DF⊥BC于F，
設DF=xkm，
∴CF=$\frac{DF}{ran∠DCB}$=$\frac{4}{3}$x，
BF=$\frac{DF}{tan∠DBC}$=$\frac{5}{2}$x，
則$\frac{4}{3}$x+$\frac{5}{2}$x=46，
解得，x=12，
∴DF=12，CF=16，
由勾股定理得，CD=$\sqrt{D{F}^{2}+C{F}^{2}}$=20km．
答：CD的距離為20km．

點評 本題考查的是解直角三角形的應用-方向角問題，正確作出輔助線、熟記銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．