Question

小明在找等邊三角形ABC一邊的三等分點時，他是這樣做的，先做∠ABC、∠ACB的角平分線并且相交于點O，然后做線段BO、CO的垂直平分線，分別交BC于E、F，他說：“E、F就是BC邊的三等分點．”你同意他的說法嗎？請說明你的理由．

Answer 1

解：E，F(xiàn)是BC的三等分點．理由：
連接OE，OF，

∵DE垂直平分OB
∴BE=OE（線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等），
同理OF=CF，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠FOC，
∵等邊三角形ABC中，
∴∠ABC=∠ACB=60°（等邊三角形各角相等且為60°）
∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB
∴∠EBO=∠ABC=30°，∠FCO=∠ACB=30°
∴∠BOE=∠EBO=30°，∠FOC=∠FCO=30°
∴∠OEF=∠BOE+∠EBO=60°，∠OFE=∠FOC+∠FCO=60°，
∴△OEF是等邊三角形（有兩個內(nèi)角60°的三角形是等邊三角形）
∴OE=OF=EF（等邊三角形各邊相等）
∴BE=EF=FC，即E，F(xiàn)是BC的三等分點．
分析：連接OE，OF構(gòu)建等腰三角形BOE和CFO，利用等腰三角形的“三線合一”推知的性質(zhì)BE=OE、OF=CF，然后等邊三角形ABC中，根據(jù)等邊三角形的三個內(nèi)角都是60°的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)證得△OEF是等邊三角形（有兩個內(nèi)角60°的三角形是等邊三角形）；最后由等邊三角形OEF的三條邊都相等、等量代換證明BE=EF=FC即E，F(xiàn)是BC的三等分點．
點評：本題綜合考查了等邊三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)．解答該題時，充分利用了等腰三角形的底邊上的高線、中線、對角的角平分線三線合一的特性．