Question

3．如圖，正方形ABCD中，P、Q分別是邊AB、BC上的兩個動點，P、Q同時分別從A、B出發(fā)，點P沿AB向B運動；點Q沿BC向C運動，速度都是1個單位長度/秒．運動時間為t秒．
（1）連結(jié)AQ、DP相交于點F，求證：AQ⊥DP；
（2）當(dāng)正方形邊長為4，而t=3時，求tan∠QDF的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到AB=AD，∠BAD=∠B=90°，推出△ADP≌△ABQ，由全等三角形的性質(zhì)得到∠BAQ=∠ADP，根據(jù)余角的性質(zhì)即可得到結(jié)論；
（2）根據(jù)勾股定理得到PD=AQ=5，推出△APF∽△ADP，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到$\frac{AP}{PD}=\frac{PF}{AP}$，求得PF=$\frac{9}{5}$，得到DF=$\frac{16}{5}$，同理得到AF=$\frac{12}{5}$，求得FQ=$\frac{13}{5}$，根據(jù)三角函數(shù)的定義即可得到結(jié)論．

解答 解：（1）在正方形ABCD中，
∵AB=AD，∠BAD=∠B=90°，
由題意得：AP=BQ，
在△ADP與△ABQ中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=AB}\\{∠DAB=∠B}\\{AP=BQ}\end{array}\right.$，
∴△ADP≌△ABQ，
∴∠BAQ=∠ADP，
∵∠PAF+∠DAF=90°，
∴∠DAF+∠ADF=90°，
∴∠AFD=90°，
∴AQ⊥DP；

（2）∵正方形邊長為4，而t=3時，
∴AD=AB=4，AP=BQ=3，
∴PD=AQ=5，
∵∠PAF=∠ADP，∠AFP=∠PAD=90°，
∴△APF∽△ADP，
∴$\frac{AP}{PD}=\frac{PF}{AP}$，
∴PF=$\frac{9}{5}$，
∴DF=$\frac{16}{5}$，
∵∠AFP=∠AFD=90°，
∴△APF∽△ADF，
∴$\frac{AF}{PF}=\frac{DF}{AF}$，
∴AF=$\frac{12}{5}$，
∴FQ=$\frac{13}{5}$，
∴tan∠QDF=$\frac{FQ}{DF}$=$\frac{13}{16}$．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．