Question

【題目】如圖，銳角△ABC中，BC＞AB＞AC，求作一點(diǎn)P，使得∠BPC與∠A互補(bǔ)，甲、乙兩人作法分別如下：

甲：以B為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AC于P點(diǎn)，則P即為所求.

乙：作BC的垂直平分線和∠BAC的平分線，兩線交于P點(diǎn)，則P即為所求.

對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列敘述正確的是( )

A. 兩人皆正確B. 甲正確，乙錯(cuò)誤C. 甲錯(cuò)誤，乙正確D. 兩人皆錯(cuò)誤

Answer 1

【答案】A

【解析】

甲：根據(jù)作圖可得AB＝BP，利用等邊對(duì)等角得：∠BAP＝∠APB，由平角的定義可知：∠BPC+∠APB＝180°，根據(jù)等量代換可作判斷；

乙：利用角平分線的性質(zhì)，作輔助線，證明Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），可得∠BAC+∠BPC＝180°，作判斷即可．

解：甲：如圖1，∵AB＝BP，

∴∠BAP＝∠APB，

∵∠BPC+∠APB＝180°

∴∠BPC+∠BAP＝180°，

∴甲正確；

乙：如圖2，過(guò)P作PG⊥AB于G，作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，

∴PG＝PH，

∵PD是BC的垂直平分線，

∴PB＝PC，

∴Rt△BPG≌Rt△CPH（HL），

∴∠BPG＝∠CPH，

∴∠BPC＝∠GPH，

∵∠AGP＝∠AHP＝90°，

∴∠BAC+∠GPH＝180°，

∴∠BAC+∠BPC＝180°，

∴乙正確；

故選：A．