Question

（1）試用一元二次方程的求根公式，探索方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根互為相反數(shù)的條件是______．
（2）已知x、y為實數(shù)，，則=______．
（3）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90度，BC=16，AD=21，DC=12，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿線段DA方向以每秒2個單位長度的速度運(yùn)動，動點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，在線段CB以每秒1個單位長度的速度向點(diǎn)B運(yùn)動．點(diǎn)P、Q分別從點(diǎn)D、C同時出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到點(diǎn)A時，點(diǎn)Q隨之停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為t秒．
①設(shè)△BPQ的面積為S，求S和t之間的函數(shù)關(guān)系式；
②當(dāng)t為何值時，以B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是等腰三等形？（分類討論）

Answer 1

解：（1）依題意可知：
x₁+x₂==0，
∵a≠0
∴b=0．
并且判別式△=b2-4ac≥0，則a，c異號．
故方程ax²+bx+c=0（a≠0）的兩根互為相反數(shù)的條件是：b=0，且a，c異號．
（2），
即=0，
∴3x-2=0，y-2=0，
∴x=，y=2，
∴=．

（3）①作PM⊥BC，垂足為M．
則四邊形PDCM為矩形．
∴PM=DC=12
∵QB=16-t，
∴S=．

②可知CM=PD=2t，CQ=t，
若以B、P、Q三頂為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：
第一種：PQ=BQ，在Rt△PMQ中，PQ²=PM²+QM²=12²+t²，解t=．
第二種：BP=BQ，在Rt△PMB中，BP²=（16-2t）²+12²，3t²-32t+144=0無實根，
∴PB≠BQ．
第三種：若PB=PQ，由PB²=PQ²得t²+12²=（16-2t）²+12²，解得t₁=，t₂=16（舍去）
綜上可知：t=或t=，B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形是等腰三角形．
分析：（1）根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩根之和等于=0，可求出b=0；
（2）先將原式變形為=0，再根據(jù)二次根式與平方都是非負(fù)數(shù)，即可求得x=，y=2，即可求得=．
（3）①作PM⊥BC，則PM=DC，根據(jù)三角形的面積公式S=BM•PM即可求解．
②若以B、P、Q三頂為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：第一種：PQ=BQ；第二種：BP=BQ；第三種：若PB=PQ．根據(jù)勾股定理可求得t=或t=，B、P、Q三點(diǎn)為頂點(diǎn)三角形是等腰三角形．
點(diǎn)評：本題重點(diǎn)考查了根與系數(shù)的關(guān)系；根式和完全平方式的意義；三角形面積公式及勾股定理的應(yīng)用．