Question

如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，以AC為直徑作⊙O，交AB于D，過O作OE∥AB，交BC于E．
（1）求證：ED是⊙O的切線；
（2）如果⊙O的半徑為1.5，ED=2，求AB的長；
（3）在（2）的條件下，求△ADO的面積．

Answer 1

考點：切線的判定,勾股定理

專題：

分析：（1）連OD，首先證明△EOC≌△EOD，則可以證得∠EDO=∠ECO=90°，即可證得；
（2）證明OE是△ABC的中位線，在直角△OEC中，利用勾股定理求得OE的長，然后利用三角形中位線定理求得AB的長；
（3）連接CD，則CD是直角△ABC的斜邊AB上的高，根據(jù)三角形的面積公式即可求得CD的長，則在直角△ACD中，利用勾股定理求得AD的長，則△ACD的面積即可求得，進而求得△ADO的面積．

解答：（1）證明：連OD，
∵OE∥AB，
∴∠EOC=∠A，∠EOD=∠ODA，
又∵OA=OD，
∴∠A=∠ODA，
∴∠EOC=∠EOD，
在△EOC和△EOD中，

OE=OE ∠EOC=∠EOD OC=OD

，
∴△EOC≌△EOD（SAS），
∴∠EDO=∠ECO，
又∵∠C=90°，
∴∠EDO=90°即ED⊥DO 而點D在⊙O上，
∴ED為⊙O的切線．

（2）∵OE∥AB，OA=OC
∴AB=2OE 
又∵∠C=90°，
∴OC⊥EC，
∴EC是⊙O的切線．
∴EC=ED=2，
在△OCE中，OE=

OC2+CE2

=

1.52+22

=2.5，
∴AB=2OE=5；

（3）連結(jié)CD．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠CDA=90°
∴CD⊥AB
在Rt△ABC中，CD⊥AB，
∴CD•AB=AC•BC，
∴CD=2.4，
在Rt△ACD中，AD=

AC2-CD2

=

32-2．42

=1.8，
∴S_△ACD=

1

2

CD•AD=2.16，
∴S_△ADO=

1

2

S△ACD=1.08．

點評：本題考查切線的判定以及勾股定理，已知所證的直線經(jīng)過圓上的點，證切線常用的方法是轉(zhuǎn)化成證垂直．