Question

5．已知，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P，C是⊙O上的點(diǎn)，△APO≌△CPO，
（I）如圖①，若∠PCB=36°，求∠OPC的大�。�
（Ⅱ）如圖②，過點(diǎn)C作AP的垂線DE，垂足為點(diǎn)D，且CD是⊙O的切線，若PD=1，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)同弧所對的圓周角相等，圓的半徑都相等，由∠PCB=36°，可以推出∠OPC的大��；
（2）根據(jù)題意可以得到OC∥AD，從而可以得到∠POA與∠POC的關(guān)系，從而可以得到△OCP的形狀，由PD=1，通過轉(zhuǎn)化可以得到CP的長，從而可以得到⊙O的直徑．

解答 解：（1）∵△APO≌△CPO，
∴∠A=∠PCO，
∵∠A=∠PCB，
∴∠PCO=∠PCB，
∵OP=OC，
∴∠OPC=∠PCO，
∴∠OPC=∠PCB，
又∵∠PCB=36°，
∴∠OPC=36°；
（2）∵CD是⊙O的切線，C為切點(diǎn)，
∴DE⊥OC，
∴∠OCD=∠OCE=90°，
∵DE⊥AD
∴∠ADE=90°，
∴∠ADE=∠OCE，
∴AD∥OC，
∴∠APO=∠POC，
∵△APO≌△CPO，
∴∠APO=∠CPO，
∴∠POC=∠CPO，
∴OC=PC，
∵OC=OP，
∴OC=OP=PC，
∴△OPC是等邊三角形，
∴∠OCP=60°，OC=PC，
∵∠OCD=90°，
∴∠PCD=∠OCD-∠PCO=30°，
∵∠ADE=90°，PD=1，
∴PC=2PD=2，
∵OC=PC，
∴OC=2，
∴⊙O的直徑是4．

點(diǎn)評 本題考查切線的性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想，找出所求問題需要的條件．