Question

16．如圖，在平面直角坐標系中，拋物線C₁；y=ax²+bx的最低點的坐標為（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{25}{8}$），邊長為2的正方形ABCD的邊BC在x軸上，點B的坐標為（$\frac{2}{3}$，0），先將拋物線C₁繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C₂．
（1）求拋物線C₂的解析式；
（2）請判斷拋物線C₂上的點是否會與正方形ABCD的某個頂點重合，并說明理由；
（3）連接OD，拋物線C₂的對稱軸與OD的交點為E，M是CD的一個動點（點M與點C，D不重合），過點M作MN∥OD交x軸于點N，連接EM，EN，設(shè)CM的長為a，△EMN的面積為S，求S與a的函數(shù)解析式，并寫出自變量a的取值范圍．S是否存在著最大值？若存在，求出最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可得C₂的頂點坐標，根據(jù)頂點坐標公式，可得函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)點的坐標滿足函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上，可得答案；
（3）根據(jù)比例的性質(zhì)，可得CN的長，根據(jù)面積的和差，可得二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案．

解答 解：（1）拋物線C₂由拋物線C₁繞點O順時針旋轉(zhuǎn)180°得到，拋物線C₁的y=ax²+bx的頂點的坐標為（-$\frac{5}{3}$，-$\frac{25}{8}$），且過原點，
拋物線C₂的頂點坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{25}{8}$），且過頂點；設(shè)拋物線C₂的解析式為y=ax²+bx，
-$\frac{2a}$=$\frac{5}{3}$，-$\frac{^{2}}{4a}$=$\frac{25}{8}$．∴a=-$\frac{9}{8}$，b=-$\frac{15}{4}$，
拋物線C₂的解析式y(tǒng)=-$\frac{9}{8}$x²-$\frac{15}{4}$x；
（2）會，理由如下：A（$\frac{2}{3}$，2），B（$\frac{8}{3}$，2），C（$\frac{8}{3}$，0）．
點A、D在拋物線C₂的解析式y(tǒng)=-$\frac{9}{8}$x²-$\frac{15}{4}$x上；
（3）如圖：

設(shè)OD的解析式為y=kx，將D點坐標代入函數(shù)解析式，
解得k=$\frac{3}{4}$，OD的解析式為y=$\frac{3}{4}$x，拋物線C₂的對稱軸為x=$\frac{5}{3}$，
點E的坐標為（$\frac{5}{3}$，$\frac{5}{4}$）．
∵MN∥OD，
∴△CMN∽△CDO，
∴$\frac{CN}{CO}$=$\frac{CM}{CD}$，CN=$\frac{4}{3}$a．
S=S_△CDO-S_△ONE-S_△CMN-S_△MDE
=$\frac{1}{2}$×2×$\frac{8}{3}$-$\frac{1}{2}$×（$\frac{8}{3}$-$\frac{4}{3}$a）-$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$a•a-$\frac{1}{2}$×（2-a）×（$\frac{8}{3}$-$\frac{5}{3}$）
=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a，
S=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a （0＜a＜2），
S=-$\frac{2}{3}$a²+$\frac{4}{3}$a=-$\frac{2}{3}$（a-1）²+$\frac{2}{3}$，
當a=1時，S_最大=$\frac{2}{3}$．

點評 本題考查了二次函數(shù)綜合題，利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出C₂的頂點坐標是解題關(guān)鍵；利用代入法是求點在圖象上的關(guān)鍵；利用面積的和差得出二次函數(shù)是解題關(guān)鍵．