Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+2，它的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，2）．
（1）如果用含a的代數(shù)式表示b，那么b=______；
（2）如圖所示，如果該圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（-1，0）．
①求二次函數(shù)的表達(dá)式，并寫出圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
②在平面直角坐標(biāo)系中，如果點(diǎn)P到x軸與y軸的距離相等，則稱點(diǎn)P為等距點(diǎn)．求出這個(gè)二次函數(shù)圖象上所有等距點(diǎn)的坐標(biāo)．
（3）當(dāng)a取a₁，a₂時(shí)，二次函數(shù)圖象與x軸正半軸分別交于點(diǎn)M（m，0），點(diǎn)N（n，0）．如果點(diǎn)N在點(diǎn)M的右邊，且點(diǎn)M和點(diǎn)N都在點(diǎn)（1，0）的右邊．試比較a₁和a₂的大小．

Answer 1

【答案】分析：（1）直接將點(diǎn)（1，2）代入拋物線的解析式中，即可得到a、b間的關(guān)系式．
（2）①已知拋物線圖象上的兩點(diǎn)坐標(biāo)，且只有兩個(gè)待定系數(shù)，利用待定系數(shù)法求解即可．
②P到x軸、y軸的距離相等，那么P點(diǎn)必在直線y=x或y=-x上，這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)，即為符合條件的等距點(diǎn)．
（3）首先根據(jù)（1）的結(jié)論，用a表示出函數(shù)的解析式，然后分別將M、N的坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，分別用m、n表示出a₁、a₂，通過做差可比較出a₁、a₂的大�。�
解答：解：（1）將（1，2）代入y=ax²+bx+2中，得：
a+b+2=2，得：b=-a．

（2）①∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c經(jīng)過點(diǎn)（1，2）和（-1，0）
可得，
解得，
即y=-x²+x+2，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，）．

②該函數(shù)圖象上等距點(diǎn)的坐標(biāo)即為此函數(shù)與函數(shù)y₁=x和函數(shù)y₂=-x的交點(diǎn)坐標(biāo)
，，
解得P₁（，）、P₂（，-）、P₃（1+，-1-）、P₄（1-，-1）．

（3）∵二次函數(shù)與x軸正半軸交于點(diǎn)（m，0）且a=-b，
∴a₁m²-a₁m+2=0，即 a₁=，
同理 a₂n²-a₂n+2=0，a₂=，
故 a₂-a₁=-=，
∵n＞m＞1，故 a₂-a₁=＞0，
∴a₁＜a₂．
點(diǎn)評(píng)：該題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)的求法以及不等式的應(yīng)用等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，屬于基礎(chǔ)知識(shí)的綜合考查，難度適中．