Question

如圖，Rt△OAB如圖所示放置在平面直角坐標(biāo)系中，直角邊OA與x軸重

合，∠OAB＝90°，OA＝4，AB＝2，把Rt△OAB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到

點(diǎn)C的位置，一條拋物線正好經(jīng)過點(diǎn)O，C，A三點(diǎn)．

（1）求該拋物線的解析式；

（2）在x軸上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的平行線交拋物線于點(diǎn)M，分

別過點(diǎn)P，點(diǎn)M作x軸的垂線，交x軸于E，F兩點(diǎn)，問：四邊形PEFM的周長(zhǎng)

是否有最大值?如果有，請(qǐng)求出最值，并寫出解答過程；如果沒有，請(qǐng)說明理由．

（3）如果x軸上有一動(dòng)點(diǎn)H，在拋物線上是否存在點(diǎn)N，使O（原點(diǎn)）、C、H、N四點(diǎn)

構(gòu)成以OC為一邊的平行四邊形，若存在，求出N點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明

理由.

Answer 1

解：（1）因?yàn)?i>OA=4，AB=2，把△AOB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

可以確定點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，4）；由圖可知點(diǎn)A的坐標(biāo)為

(4，0)，又因?yàn)閽佄锞�經(jīng)過原點(diǎn)，故設(shè)y=ax²+bx把(2，4)，

(4，0)代入，得，解得

所以拋物線的解析式為y=-x²+4x

（2）由題意，如圖所示，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P（a，-a²+4a）則

由拋物線的對(duì)稱性知OE=AF，所以EF=PM=4-2a，

PE=MF=-a²+4a，則矩形PEFM的

周長(zhǎng)L=2[4-2a+(-a²+4a)]=-2(a-1)²+10

所以當(dāng)a=1時(shí)，矩形PEFM的周長(zhǎng)

有最大值，L_max=10

（3）∵y=-x²+4x=-(x-2)²+4

可知頂點(diǎn)坐標(biāo)（2，4），所以

知道C點(diǎn)正好是頂點(diǎn)坐標(biāo)，

知道C點(diǎn)到x軸的距離為4個(gè)

單位長(zhǎng)度，過點(diǎn)C作x軸的平

行線，與x軸沒有其它交點(diǎn)，過y=-4作x軸的平行線，與拋

物線有兩個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)為所求的N點(diǎn)坐標(biāo)所以有

-x²+4x=-4 解得x₁=2+，x₂=2-

∴N點(diǎn)坐標(biāo)為

N₁(2+，-4)，

N₂(2-，-4)