Question

已知如圖，在菱形ABCD中，CO⊥BD，垂足為點O，E為BC上一點，F(xiàn)為AD延長線上一點，EF交CD于點G，EG=FG=DG，連接OE、OF．
（1）若DG=5，OC=8，求BD的長；
（2）求證：∠OFG=90°-

1

2

∠BEF．

Answer 1

考點：菱形的性質(zhì),勾股定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠DFG=∠CEG，再利用“角邊角”證明△DFG和△CEG全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DG=CG，從而求出CD，再利用勾股定理列式求出DO，然后根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得BD=2DO；
（2）延長FO交CB的延長線于H，利用“角角邊”證明△ODF和△OBH全等，再根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得DF=BH，再求出DF=CE，然后求出EH=EF=10，然后根據(jù)等腰三角形兩底角相等的性質(zhì)列式計算即可得證．

解答：（1）解：∵菱形的對邊AD∥BC，
∴∠DFG=∠CEG，
在△DFG和△CEG中，

∠DFG=∠CEG EG=FG ∠DGF=∠CGE

，
∴△DFG≌△CEG（ASA），
∴DG=CG，
∵DG=5，
∴CD=5×2=10，
∵CO⊥BD，
∴DO=

CD2-OC2

=

102-82

=6，
在菱形ABCD中，BC=CD，
∵CO⊥BD，
∴BD=2DO=2×6=12；

（2）證明：如圖，延長FO交CB的延長線于H，
∵AD∥BC，
∴∠DFO=∠H，
在△ODF和△OBH中，

∠DFO=∠H ∠DOF=∠BOH BO=DO

，
∴△ODF≌△OBH（AAS），
∴DF=BH，
又∵△DFG≌△CEG，
∴DF=EC，
∴BH=EC，
∴EH=BC=CD=2DG，
∵EG=FG=DG，
∴EF=2DG，
∴EH=EF，
∴∠OFG=

1

2

（180°-∠BEF）=90°-

1

2

∠BEF，
即：∠OFG=90°-

1

2

∠BEF．

點評：本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，熟記菱形的性質(zhì)并確定出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形和等腰三角形是解題的關(guān)鍵．