Question

如圖，在正方形ABCD中，等邊△AEF的頂點E、F分別在BC和CD上．
（1）求證：△ABE≌△ADF；
（2）若等邊△AEF的周長為6，求正方形ABCD的邊長．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）根據(jù)四邊形ABCD是正方形，得出AB=AD，∠B=∠D=90°，再根據(jù)△AEF是等邊三角形，得出AE=AF，最后根據(jù)HL即可證出△ABE≌△ADF；
（2）根據(jù)等邊△AEF的周長是6，得出AE=EF=AF的長，再根據(jù)（1）的證明得出CE=CF，∠C=90°，從而得出△ECF是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理得出EC的值，設(shè)BE=x，則AB=x+

2

，在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，求出x的值，即可得出正方形ABCD的邊長．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
∵△AEF是等邊三角形，
∴AE=AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，

AB=AD AE=AF

，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）；

（2）解：∵等邊△AEF的周長是6，
∴AE=EF=AF=2，
又∵Rt△ABE≌Rt△ADF，
∴BE=DF，
∴CE=CF，∠C=90°，
即△ECF是等腰直角三角形，
由勾股定理得CE²+CF²=EF²，
∴EC=

2

，
設(shè)BE=x，則AB=x+

2

，
在Rt△ABE中，AB²+BE²=AE²，即（x+

2

）²+x²=4，
解得x₁=

- 2 + 6

2

或x₂=

- 2 - 6

2

（舍去），
∴AB=

- 2 + 6

2

+

2

=

2 + 6

2

，
∴正方形ABCD的邊長為

2 + 6

2

．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是對正方形和三角形的性質(zhì)以及勾股定理的運用要熟練掌握．