Question

如圖，已知在△ABC中，AD是BC邊上的中線，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)D作MN⊥AC于點(diǎn)M，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)B作BG⊥MN于G．

（1）求證：△BGD∽△DMA；

（2）求證：直線MN是⊙O的切線．

Answer 1

證明：（1）∵M(jìn)N⊥AC于點(diǎn)M，BG⊥MN于G，

∴∠BGD=∠DMA=90°．

∵以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，∴AD⊥BC，∠ADC=90°，

∴∠ADM+∠CDM=90°，

∵∠DBG+∠BDG=90°，∠CDM=∠BDG，

∴∠DBG=∠ADM．

在△BGD與△DMA中，，∴△BGD∽△DMA；

（2）連結(jié)OD．∵BO=OA，BD=DC，

∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥AC．∵M(jìn)N⊥AC，BG⊥MN，

∴AC∥BG，∴OD∥BG，∵BG⊥MN，∴OD⊥MN，

∴直線MN是⊙O的切線．