Question

（2013•連云港）在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，折痕DF交BC于點(diǎn)F．
（1）求證：四邊形BFDE為平行四邊形；
（2）若四邊形BFDE為菱形，且AB=2，求BC的長．

Answer 1

分析：（1）證△ABE≌△CDF，推出AE=CF，求出DE=BF，DE∥BF，根據(jù)平行四邊形判定推出即可．
（2）求出∠ABE=30°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)求出AE、BE，即可求出答案．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A=∠C=90°，AB=CD，AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB，
∵在矩形ABCD中，將點(diǎn)A翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)M處，折痕BE交AD于點(diǎn)E．將點(diǎn)C翻折到對(duì)角線BD上的點(diǎn)N處，
∴∠ABE=∠EBD=

1

2

∠ABD，∠CDF=

1

2

∠CDB，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF中

∠A=∠C AB=CD ∠ABE=∠CDF

∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BF，DE∥BF，
∴四邊形BFDE為平行四邊形；

（2）解：∵四邊形BFDE為為菱形，
∴BE=ED，∠EBD=∠FBD=∠ABE，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠ABC=90°，
∴∠ABE=30°，
∵∠A=90°，AB=2，
∴AE=

2

3

=

2 3

3

，BE=2AE=

4

3

3

，
∴BC=AD=AE+ED=AE+BE=

2 3

3

+

4

3

3

=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定，菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生運(yùn)用定理進(jìn)行推理和計(jì)算的能力．