Question

14．如圖，直線AB：y=kx+b（k≠0）過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和B（0，-2），
（1）k=-2，b=-2；
（2）若直線AB向右平移與雙曲線y=$\frac{{k}_{1}}{x}$交于C、D兩點(diǎn)，連接AD交y軸于點(diǎn)E，S_△AEB=$\frac{1}{5}$S_{四邊形DEBC}，求k₁的值和點(diǎn)D、C的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；
（2）分別過(guò)C、D作x軸的垂線，垂足為F、G，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥DG，垂足為H，根據(jù)CD∥AB，CD=AB可證△CDH≌△ABO，則CH=AO=1，DH=OB=2，設(shè)D（m，n），則C（m+1，n-2），根據(jù)k₁=（m+1）（n-2）=mn，求得m、n的數(shù)量關(guān)系，設(shè)直線AD解析式為y=ax+c（a≠0），將A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入求解析式，確定E點(diǎn)坐標(biāo)，求S_△ABE，根據(jù)S_{四邊形BCDE}=5S_△ABE，列方程求m、n的值，即可求得C、D的坐標(biāo)以及k₁的值．

解答 解：（1）∵直線AB：y=kx+b（k≠0）過(guò)點(diǎn)A（-1，0）和B（0，-2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=-2}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
故答案是：-2，-2；

（2）如圖，過(guò)C、D兩點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F、G，DG交BC于M點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作CH⊥DG，垂足為H，
∵ABCD是平行四邊形，
∴∠ABC=∠ADC，
∵BO∥DG，
∴∠OBC=∠GDE，
∴∠HDC=∠ABO，
在△CDH與△ABO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DHC=∠BOA=90°}\\{∠HDC=∠ABO}\\{DC=BA}\end{array}\right.$，
∴△CDH≌△ABO（AAS），
∴CH=AO=1，DH=OB=2．
設(shè)D（m，n），則C（m+1，n-2），
則（m+1）（n-2）=mn=k₁，
解得n=2m+2，則D的坐標(biāo)是（m，2m+2），
設(shè)直線AD解析式為y=ax+b（a≠0），將A、D兩點(diǎn)坐標(biāo)代入得
$\left\{\begin{array}{l}{-a+b=0①}\\{ma+b=2m+2②}\end{array}\right.$，
由①得：a=b，代入②得：mb+b=2m+2，
即b（m+1）=2（m+1），解得b=2，
則 $\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴y=2x+2，E（0，2），BE=4，
∴S_△ABE=$\frac{1}{2}$×BE×AO=2，
∵S_{四邊形BCDE}=5S_△ABE=5×$\frac{1}{2}$×4×1=10，
∵S_{四邊形BCDE}=S_△ABE+S_{四邊形BEDM}=10，
即2+4×m=10，
解得m=2，
∴n=2m+2=6，
∴C（3，4），D（2，6），
∴k₁=mn=2×6=12．
則該反比例函數(shù)的解析式為：y=$\frac{12}{x}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式以及反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．關(guān)鍵是通過(guò)作輔助線，將圖形分割，尋找全等三角形，利用邊的關(guān)系設(shè)雙曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)面積關(guān)系，列方程求解．