Question

17．在菱形ABCD中，∠B=60°，AC為對角線．點E、F分別在邊AB、DA或其延長線上，連結(jié)CE、CF，且∠ECF=60°．
感知：如圖①，當點E、F分別在邊AB、DA上時，易證：AF=BE．（不要求證明）
探究：如圖②，當點E、F分別在邊AB、DA的延長線上時，CF與邊AB交于點G．求證：AF=BE．
應(yīng)用：如圖②，若AB=12，AF=4，求線段GE的長．

Answer 1

分析 探究：先由菱形的性質(zhì)得出AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，則可證∠FAC=∠EBC=120°，∠ACF=∠BCE=60°-∠GCB，那么根據(jù)ASA可得△ACF≌△BCE，利用全等三角形對應(yīng)邊相等得出AF=BE；
應(yīng)用：先由菱形的性質(zhì)得出AD∥CB，那么△AFG∽△BCG，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例得出$\frac{GA}{GB}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，所以GB=3GA．由GA+GB=AB=12，求出GA=3，GB=9，根據(jù)GE=GB+BE即可求解．

解答 探究：證明：如圖2，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，
∴AC=BC，∠ACB=∠DAC=∠ABC=60°，
∴∠FAC=180°-∠DAC=120°，∠EBC=180°-∠ABC=120°，
∴∠FAC=∠EBC．
又∵∠ECF=60°，
∴∠ACF=∠ACB-∠GCB=60°-∠GCB，
∠BCE=∠ECF-∠GCB=60°-∠GCB，
∴∠ACF=∠BCE．
在△ACF與△BCE中
$\left\{\begin{array}{l}{∠FAC=∠EBC}\\{AC=BC}\\{∠ACF=∠BCE}\end{array}\right.$，
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE；

應(yīng)用：解：∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD∥CB，
∴△AFG∽△BCG，
∴$\frac{GA}{GB}$=$\frac{AF}{BC}$=$\frac{4}{12}$=$\frac{1}{3}$，
∴GB=3GA．
又∵GA+GB=AB=12，
∴GA+3GA=12，
∴GA=3，
∴GB=9，
又∵AF=BE，
∴GE=GB+BE=9+4=13．

點評 本題考查了菱形的性質(zhì)，全等三角形、相似三角形的判定與性質(zhì)，證明出△ACF≌△BCE是解題的關(guān)鍵．