Question

如圖，在等腰Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，F(xiàn)是AB邊上的中點，點D、E分別在AC、BC邊上運動，且保持AD=CE．連接DE、DF、EF．在此運動變化的過程中，下列結(jié)論：①△DFE是等腰直角三角形；②DE長度的最小值為4；③四邊形CDFE的面積保持不變；④△CDE面積的最大值為8．其中正確的結(jié)論是（　�。�

A．①②③

B．①③

C．①③④

D．②③④

Answer 1

分析：解答此題的關(guān)鍵是在于判斷△DFE是否等腰直角三角形；做常規(guī)輔助線，連接CF，由SAS定理可得△CFE≌△ADF，從而可證∠DFE=90°可得DF=EF，可得①△DFE是等腰直角三角形正確；可得DE=

2

DF，當(dāng)DF⊥AC時，DF最小，DE取最小值4

2

，故②錯誤；再由補(bǔ)割法可證③是正確的；△CDE最大的面積等于四邊形CDEF的面積減去△DEF的最小面積，由③可知④是正確的．故①③④正確．

解答：解：①連接CF．
∵△ABC為等腰直角三角形，
∴∠FCB=∠A=45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE，
∴△ADF≌△CEF，
∴EF=DF，∠CFE=∠AFD，
∵∠AFD+∠CFD=90°
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF是等腰直角三角形，
故本選項正確；

②∵△DEF是等腰直角三角形，
∴當(dāng)DE最小時，DF也最小，
即當(dāng)DF⊥AC時，DE最小，此時DF=

1

2

BC=4，
∴DE=

2

DF=4

2

，
故本選項錯誤；

③∵△ADF≌△CEF，
∴S_△CEF=S_△ADF，
∴S_{四邊形CDFE}=S_△DCF+S_△CEF=S_△DCF+S_△ADF=S_△ACF=

1

2

S_△ABC
故本選項正確；

④當(dāng)△CED面積最大時，由③知，此時△DEF的面積最小，此時，
S_△CED=S_{四邊形CEFD}-S_△DEF=S_△AFC-S_△DEF=16-8=8，
故本選項正確；
綜上所述正確的有①③④．
故選C．

點評：此題考查的知識點有等腰直角三角形，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點，綜合性強(qiáng)，難度較大，是一道難題．利用“割補(bǔ)法”是求不規(guī)則圖形的面積的常用方法．