Question

【題目】如圖，已知⊙O的直徑CD=6，A，B為圓周上兩點(diǎn)，且四邊形OABC是平行四邊形，過A點(diǎn)作直線EF∥BD，分別交CD，CB的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)，AO與BD交于G點(diǎn)．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）求AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵CD為直徑，

∴∠DBC=90°，

∴BD⊥BC，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴AO∥BC，

∴BD⊥OA，

∵EF∥BD，

∴OA⊥EF，

∴EF是⊙O的切線；

（2）解：連接OB，如圖，

∵四邊形OABC是平行四邊形，

∴OA=BC，

而OB=OC=OA，

∴OB=OC=BC，

∴△OBC為等邊三角形，

∴∠C=60°，

∴∠AOE=∠C=60°，

在Rt△OAE中，∵tan∠AOE= ，

∴AE=3tan60°=3 ．

【解析】（1）利用圓周角定理得到∠DBC=90°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得AO∥BC，所以BD⊥OA，加上EF∥BD，所以O(shè)A⊥EF，于是根據(jù)切線的判定定理可得到EF是⊙O的切線；（2）連接OB，如圖，利用平行四邊形的性質(zhì)得OA=BC，則OB=OC=BC，于是可判斷△OBC為等邊三角形，所以∠C=60°，易得∠AOE=∠C=60°，然后在Rt△OAE中利用正切的定義可求出AE的長．