Question

一次函數(shù)的圖象與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6）．
（1）確定此一次函數(shù)的解析式．
（2）求坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離．
（3）點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM垂直于x軸于M，作PN垂直于y軸于N，記L=PM+PN，問(wèn)L是否存在最大值和最小值？若存在，求出此時(shí)P點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離，若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：一次函數(shù)綜合題

專題：壓軸題

分析：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A、B的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式解答；
（2）設(shè)點(diǎn)O到AB的距離為h，利用勾股定理列式求出AB，再利用△AOB的面積列式計(jì)算即可得解；
（3）設(shè)AM=x，表示出OM即PN的長(zhǎng)，再利用∠BAO的正切值表示出PM，然后列出PM+PN的表達(dá)式，再根據(jù)一次函數(shù)的增減性求解即可．

解答：解：（1）設(shè)一次函數(shù)解析式為y=kx+b，
∵函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），
∴

8k+b=0 b=6

，
解得

k=- 3 4 b=6

．
所以，函數(shù)解析式為y=-

3

4

x+6；

（2）設(shè)點(diǎn)O到AB的距離為h，
∵點(diǎn)A（8，0）和點(diǎn)B（0，6），
∴OA=8，OB=6，
由勾股定理得，AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10，
S_△AOB=

1

2

×10h=

1

2

×8×6，
解得h=4.8，
所以，坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線AB的距離為4.8；

（3）設(shè)AM=x，
則OM=OA-AM=8-x，
∵PM⊥x軸，PN⊥y軸，
∴四邊形OMPN是矩形，
∴PN=OM=8-x，
∵PM=AM•tan∠BAO=

6

8

x=

3

4

x，
∴L=PM+PN=

3

4

x+8-x=-

1

4

x+8，
∵點(diǎn)P是線段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，
∴點(diǎn)M在線段OA上，
∴0≤x≤8，
∵-

1

4

＜0，
∴當(dāng)x=0時(shí)，L值最大，最大值為8，此時(shí)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為8，
x=8時(shí)，L值最小，最小值為6，此時(shí)，點(diǎn)P到原點(diǎn)O的距離為6．

點(diǎn)評(píng)：本題是一次函數(shù)綜合題型，主要利用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，勾股定理，三角形的面積，解直角三角形，利用一次函數(shù)的增減性求最值問(wèn)題，（2）利用三角形的面積公式列出方程是解題的關(guān)鍵，（3）難點(diǎn)在于列出L的表達(dá)式．