Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，D為斜邊AB上的一動(dòng)點(diǎn)，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足為E、F，當(dāng)線段EF的長(zhǎng)最小時(shí)，cos∠EFD=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì),垂線段最短,銳角三角函數(shù)的定義

專題：

分析：連接CD，判斷出四邊形CEDF是矩形，再根據(jù)矩形的對(duì)角線相等可得EF=CD，然后根據(jù)垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)線段EF的長(zhǎng)最小，利用勾股定理列式求出AB，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得∠EFD=∠ECD，再根據(jù)同角的余角相等求出∠ECD=∠A，從而得到∠EFD=∠A，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義列式計(jì)算即可得解．

解答：解：如圖，連接CD，
∵DE⊥BC，DF⊥AC，∠ACB=90°，
∴四邊形CEDF是矩形，
∴EF=CD，
由垂線段最短可得CD⊥AB時(shí)線段EF的長(zhǎng)最小，
∵AC=3，BC=4，
∴AB=

AC2+BC2

=

32+42

=5，
∵四邊形CEDF是矩形，
∴∠EFD=∠ECD，
∵∠ECD+∠ACD=90°，
∠A+∠ACD=90°，
∴∠ECD=∠A，
∴∠EFD=∠A，
在Rt△ABC中，cos∠A=

AC

AB

=

3

5

，
∴cos∠EFD=cos∠A=

3

5

．
故答案為：

3

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，熟記性質(zhì)與判定方法并確定出EF最短時(shí)的位置是解題的關(guān)鍵．