Question

2．如圖，拋物線y=ax²+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA=OC，M是拋物線的頂點(diǎn)，三角形AMB的面積等于1，則下列結(jié)論：
①$\frac{^{2}-4ac}{4a}$＜0  ②ac-b+1=0  ③（2-b）³=8a²  ④OA•OB=-$\frac{c}{a}$
其中正確的結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)即可判斷①；由OA=OC可得到C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），把它們代入解析式解得ac-b+1=0，即可判斷②；由ac-b+1=0得出b=ac+1＜1，c=$\frac{b-1}{a}$，根據(jù)三角形面積公式求得（2-b）³=8a²，即可判斷③；根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)和系數(shù)的關(guān)系即可判斷④．

解答 解：∵拋物線的頂點(diǎn)在第一象限，
∴$\frac{4ac-^{2}}{4a}$＞0，
∴$\frac{^{2}-4ac}{4a}$＜0，所以①正確；
∵OA=OC，
∴C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c），A點(diǎn)坐標(biāo)為（-c，0），
代入y=ax²+bx+c得ac²-bc+c=0，
∴ac-b+1=0，所以②正確；
∵ac-b+1=0，
∴ac=b-1，b=ac+1＜1，
∴c=$\frac{b-1}{a}$，
設(shè)A（x₁，0），B（x₂，0），
∵AB=|x₁-x₂|=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\sqrt{（-\frac{a}）^{2}-4•\frac{c}{a}}$=$\sqrt{\frac{^{2}}{{a}^{2}}-\frac{4b-4}{{a}^{2}}}$=$\frac{b-2}{a}$
∴$\frac{1}{2}$AB•y_M=$\frac{1}{2}$×$\frac{b-2}{a}$×$\frac{4ac-^{2}}{4a}$=1，
∴$\frac{b-2}{a}$×$\frac{（2-b）^{2}}{4a}$=2，
∴（2-b）³=8a²，所以③正確；
∴OA=-x₁，OB=x₂，
∴OA•OB=-x₁x₂=-$\frac{c}{a}$，所以④正確；
故選A．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；對稱軸為直線x=-$\frac{2a}$；拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，c）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．