Question

如圖：AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，AE分別交BD、BC于F、E，AC、BD相交于O，
（1）求證：BE=BF；
（2）求證：OF=

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CE．

Answer 1

考點：正方形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì),三角形中位線定理

專題：證明題

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得∠ABE=∠AOF=90°，由于AE是正方形ABCD中∠BAC的平分線，根據(jù)等角的余角相等即可求得∠AFO=∠AEB，根據(jù)對頂角相等即可求得∠BFE=∠AEB，根據(jù)等角對等邊即可證得BE=BF；
（2）連接O和AE的中點G，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)即可證得OG∥BC，OG=

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2

CE，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求得∠OGF=∠FEB，從而證得∠OGF=∠AFO，根據(jù)等角對等邊即可證得OG=OF，進而證得OF=

1

2

CE．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴∠ABE=∠AOF=90°，
∵∠CAE=∠BAE，
∴∠AFO=∠AEB，
∴∠BFE=∠AEB，
∴BE=BF．

（2）證明：連接O和AE的中點G，
∵AO=CO，AG=EG，
∴OG∥BC，OG=

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2

CE，
∴∠OGF=∠FEB，
∵∠AFO=∠AEB，
∴∠OGF=∠AFO，
∴OG=OF，
∴OF=

1

2

CE．

點評：本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的判定，三角形的中位線定理等，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵．