Question

如圖，在平面直角坐標系中，四邊形OABC是直角梯形，BC∥OA，A（8，0），C（0，4），AB=5，BD⊥OA于D．現(xiàn)有一動點P從點A出發(fā)，以每秒一個單位長的速度沿AO方向，經(jīng)O點再往OC方向移動，最后到達C點．設點P移動時間為t秒．
（1）求點B的坐標；
（2）當t為多少時，△ABP的面積等于13；
（3）當t為多少時，△ABP是等腰三角形．

Answer 1

解：（1）∵四邊形OABC是直角梯形，
∴∠AOC=90°．
∵BD⊥OA，
∴OC∥BD．
∵BC∥OA，
∴四邊形OABC是矩形，
∴OC=BD，BC=OD．
∵A（8，0），C（0，4），
∴OA=8，OC=BD=4．
∵AB=5，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
AD=3，∴BC=OD=5，
∴B（5，4）；

（2）當P點在OA上時，=13，
AP=6.5，t=6.5；
當P點在OC上時，PO=t-8，CP=4-t+8=12-t
∴（5+8）×4÷2-5×（12-t）÷2-（t-8）×8÷2=13
解得t=10．
故當t為6.5秒或10秒時，△ABP的面積等于13；

（3）若P點在OA上，當AP=AB=5，即t=5時，△ABP是等腰三角形
當PB=AB=5時，即t=6時，△ABP是等腰三角形
當PB=PA時，PD=t-3，PB=t，由勾股定理，得
t=時，△ABP是等腰三角形，
當P，C重合時，t=12，
故t=、5、6、12．
分析：（1）由已知條件可以得出△ADB是直角三角形，利用勾股定理求得AD，BD的值，從而求出B點的坐標．
（2）當點P移動t秒時，AP=t，由三角形的面積公式建立等量關系就可以求出t值．
（3）當AP=AB、PB=AB或PA=PB時根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)建立等量關系可以求出其t值．
點評：本題考查了直角三角形的性質(zhì)，矩形的判定及性質(zhì)，點的坐標的確定，等腰三角形的判定及性質(zhì)，三角形的面積的運用．