Question

已知AB是⊙O的直徑，弦AC平分∠BAD，AD⊥CD于D，BE⊥CD于E．
求證：（1）CD是⊙O的切線；
（2）CD²=AD•BE．

Answer 1

證明：（1）連接OC …（1分）
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA
∵AC平分∠BAD
∴∠DAC=∠OAC
∴∠OCA=∠DAC …（2分）
∴AD∥OC
∵AD⊥CD
∴OC⊥CD …（3分）
∴CD是⊙的切線 …（4分）

（2）連接BC，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于M …（5分）
∵AD⊥DE BE⊥DE
∴AD∥BE
∴∠M=∠DAC
∵∠DAC=∠BAM
∴∠BAM=∠M
∴BA=BM …（6分）
∵AB是直徑
∴∠ACB=90°
∴AC=MC
又∵∠M=∠DAC+∠D=∠CEM AC=MC
∴△DAC≌△MCE
∴DC=EC …（7分）
（若用平行線分線段成比例定理證明，正確得分）
∴∠DAC=∠BCE，∠ADC=∠CEB
∴△ADC∽△CEB …（8分）
∴
∴CE•CD=AD•BE
∴CD²=AD•BE…（9分）
說(shuō)明：本題還有其它證法，若正確合理得分．
分析：（1）連接OC．欲證CD是⊙O的切線，只需證明OC⊥CD即可；
（2）作輔助線（連接BC，延長(zhǎng)AC交BE的延長(zhǎng)線于M ）構(gòu)建全等三角形△DAC≌△MCE，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等知DC=EC；然后由相似三角形的判定定理AA判定△ADC∽△CEB，再由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例求得，即CD²=AD•BE．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了切線的判定定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理．判定一條直線是圓的切線的三種方法：
（1）根據(jù)切線定義判定．即與圓有唯一公共點(diǎn)的直線是圓的切線．
（2）根據(jù)圓心到直線的距離來(lái)判定，即與圓心的距離等于圓的半徑的直線是圓的切線．
（3）根據(jù)切線的判定定理來(lái)判定．