Question

如圖，在矩形ABCD中，點E是AD邊上一點，點F是CB延長線上一點，連接EF交AB于點G，且DE=BF．AE的垂直平分線MN交AE于點N、交EF于點M．若∠AFG=2∠BFG=45°，AF=2．
（1）求證：AF=CE；
（2）求△CEF的面積．

Answer 1

考點：矩形的性質,全等三角形的判定與性質,線段垂直平分線的性質

專題：

分析：（1）證得△ABF和△CDE全等后即可證得AF=CE；
（2））連接AM，得到∠FAM=∠CEF=90°，根據AM=2求得MF=2

2

，從而求得EF=MF+EM=2

2

+2，由此可以得到△CEF的面積=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2．

解答：解：（1）證明：∵四邊形BCD是矩形，
∴AB=CD，∠ADC=∠ABC，
∵點F在BC的延長線上，
∴∠ABC=∠ABF，
∴ADC=∠ABF，
在△ABF和△CDE中

AB=CD ∠ABF=∠EDC BF=DE

∴△ABF≌△CDE（SAS），
∴AF=CE

（2）連接AM，
∵MN是AE的垂直平分線，
∴AM=EM，
∴∠AEM=∠MAE=

1

2

∠AMF，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEM=∠BFG，
∴∠AEM=∠BFG=

1

2

∠AMF
∵∠AFG=2∠BFG=45°，
∴∠BFG=

1

2

∠AFG=22.5°，
∴∠AMF=∠AFM=45°，∠MEA=∠BFE=22.5°，∠CED=∠AFB=67.5°
∴AM=AF，∠FAM=∠CEF=90°，
∵AM=2，
∴AF=AM=CE=EM=2，MF=2

2

∴EF=MF+EM=2

2

+2
∴△CEF的面積=

1

2

CE•EF=

1

2

×2×（2

2

+2）=2

2

+2

點評：本題考查了矩形的性質全等三角形的判定與性質及線段的垂直平分線的性質，考查的知識點比較多，難度較大．