Question

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，D為BC的中點(diǎn)，連接OD并延長，交弧BC于點(diǎn)E，F為OD延長線上一點(diǎn)且滿足∠OFC＝∠ABC．

（1）試判斷CF與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若∠ABC＝30°，求sin∠DAO的值．

Answer 1

【答案】（1）CF是⊙O的切線，理由詳見解析；（2）．

【解析】

（1）欲證明CF為⊙O的切線，只要證明即OC⊥CF即可．

（2）設(shè)⊙O的半徑為r．由OD⊥BC 且∠ABC＝30°，可得OD＝OB＝r，作DH⊥AB于H，求出DH、AD即可解決問題．

（1）結(jié)論：CF是⊙O的切線．

理由：連接CO．

∵D為BC的中點(diǎn)，且OB＝OC，

∴OD⊥BC，

∵OB＝OC，

∴∠OBC＝∠OCB，

又∵∠OBC＝∠OFC，

∴∠OCB＝∠OFC，

∵OD⊥BC，

∴∠DCF+∠OFC＝90°．

∴∠DCF+∠OCB＝90°．即OC⊥CF，

∴CF為⊙O的切線．

（2）①設(shè)⊙O的半徑為r．如圖，作DH⊥AB于H，

∵OD⊥BC 且∠ABC＝30°，

∴OD＝OB＝r，

在Rt△ODH中，∠DOH＝60°，OD＝r．

∴DH＝r，OH＝r，

在Rt△DAH中，∵AH＝AO+OH＝r，

∴由勾股定理：．

∴．