Question

（1）如圖1，△ABC中，AB=AC，∠ABC=67.5°，點D是BC的中點，BE⊥AC于點E，交AD于點F，求證：AF=BC；
（2）Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=67.5°，
①如圖2，以AB為斜邊作等腰Rt△ABE，BE交AC于點F，判斷AF和BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
②如圖3，點D在AB邊上，且AD=

1

3

AB，以AD為斜邊作等腰Rt△ADE，DE交AC于點F，請寫出AF和BC的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形

專題：

分析：（1）由∠ABC=67.5°可以求出∠BAC=45°，就可以得出AE=BE就可以得出△AEF≌△BEC就可以得出結(jié)論；
（2）①延長BC、AE交于點G，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△AEF≌△BEG，就有AF=BG，求出∠ABC=∠AGC，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出BG=2BC，進而得出結(jié)論．
②延長BC、AE交于點G，作BH⊥AG于H交AC于M，就可以得出DE∥BH，由平行線的性質(zhì)就可以得出

AF

AC

=

1

3

，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△AEF≌△BEG，就有AF=BG，求出∠ABC=∠AGC，由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出BG=2BC，就可以求出結(jié)論．

解答：（1）證明：如圖1，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ABC=67.5°，
∴∠ACB=67.5°．
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴∠BAC=45°．
∵BE⊥AC，
∴∠AEB=∠BEC=90°．
∴∠ABE=45°，∠C+∠CBE=90°，
∴∠ABE=∠BAE，
∴AE=BE．
∵點D是BC的中點，
∴AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∴∠C+∠DAC=90°．
∴∠DAC=∠CBE．
在△AEF和△BEC中，

∠DAC=∠CBE ∠AEB=∠BEC AE=BE

，
∴△AEF≌△BEC（AAS），
∴AF=BC；
（2）①AF=2BC．
理由：解：如圖2，延長BC、AE交于點G．
∵△ABE是的等腰直角三角形，∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠ABE=45°，AE=BE，∠BEG=∠AEB=90°．
∴∠G+∠GBE=90°．
∵∠BAE+∠ABG+∠G=180°，且∠ABC=67.5°，
∴∠G=67.5°，
∴∠ABC=∠G，
∴AB=AG．
∵∠ACB=90°，
∴BG=2BC，∠G+∠GAC=90°，
∴∠GAC=∠GBE．
在△AEF和△BEG中

∠GAC=∠GBE ∠AEB=∠BEG AE=BE

，
∴△AEF≌△BEG（AAS），
∴AF=BG，
∴AF=2BC；
②BC=

3

2

AF．
理由：解：如圖3，延長BC、AE交于點G，作BH⊥AG于H交AC于M
∴∠BHA=∠BHG=90°．
∴∠G+∠GBH=90°
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠DAE=∠ADE=45°，AE=DE，∠AED=90°，
∴∠AED=∠BHA，
∴DE∥BH，
∴

AD

AB

=

AF

AM

．
∵AD=

1

3

AB，
∴

AF

AM

=

1

3

，
∴AM=3AF．
∵∠BAE+∠ABC+∠G=180°，且∠DAE=45°，∠ABC=67.5°，
∴∠G=67.5°．∠ABH=45°．
∴∠G=∠ABC，∠ABH=∠BAH
∴AB=AG，AH=BH．
∵∠ACB=90°，
∴BG=2BC，∠ACG=90°，
∴∠G+∠CAG=90°，∠AHM=∠BHG，
∴∠GBH=∠CAH．
在△AMH和△BGH中

∠AHM=∠BHG ∠CAH=∠GBH AH=BH

，
∴△AMH≌△BGH（AAS），
∴AM=BG，
∴BG=3AF，
∴2BC=3AF，
∴BC=

3

2

AF．

點評：本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用，等腰直角三角形的性質(zhì)的運用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運用，平行線分線段成比例定理的運用，三角形內(nèi)角和定理的運用，解答時證明三角形全等是關(guān)鍵，作出合理的輔助線是難點．