(1)如圖1,△ABC中,AB=AC,∠ABC=67.5°,點D是BC的中點,BE⊥AC于點E,交AD于點F,求證:AF=BC;
(2)Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=67.5°,
①如圖2,以AB為斜邊作等腰Rt△ABE,BE交AC于點F,判斷AF和BC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;
②如圖3,點D在AB邊上,且AD=
1
3
AB,以AD為斜邊作等腰Rt△ADE,DE交AC于點F,請寫出AF和BC的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
考點:全等三角形的判定與性質(zhì),等腰直角三角形
專題:
分析:(1)由∠ABC=67.5°可以求出∠BAC=45°,就可以得出AE=BE就可以得出△AEF≌△BEC就可以得出結(jié)論;
(2)①延長BC、AE交于點G,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△AEF≌△BEG,就有AF=BG,求出∠ABC=∠AGC,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出BG=2BC,進而得出結(jié)論.
②延長BC、AE交于點G,作BH⊥AG于H交AC于M,就可以得出DE∥BH,由平行線的性質(zhì)就可以得出
AF
AC
=
1
3
,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出△AEF≌△BEG,就有AF=BG,求出∠ABC=∠AGC,由等腰三角形的性質(zhì)就可以得出BG=2BC,就可以求出結(jié)論.
解答:(1)證明:如圖1,∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ABC=67.5°,
∴∠ACB=67.5°.
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,
∴∠BAC=45°.
∵BE⊥AC,
∴∠AEB=∠BEC=90°.
∴∠ABE=45°,∠C+∠CBE=90°,
∴∠ABE=∠BAE,
∴AE=BE.
∵點D是BC的中點,
∴AD⊥BC,
∴∠ADC=90°,
∴∠C+∠DAC=90°.
∴∠DAC=∠CBE.
在△AEF和△BEC中,
∠DAC=∠CBE
∠AEB=∠BEC
AE=BE

∴△AEF≌△BEC(AAS),
∴AF=BC;
(2)①AF=2BC.
理由:解:如圖2,延長BC、AE交于點G.
∵△ABE是的等腰直角三角形,∠AEB=90°,
∴∠BAE=∠ABE=45°,AE=BE,∠BEG=∠AEB=90°.
∴∠G+∠GBE=90°.
∵∠BAE+∠ABG+∠G=180°,且∠ABC=67.5°,
∴∠G=67.5°,
∴∠ABC=∠G,
∴AB=AG.
∵∠ACB=90°,
∴BG=2BC,∠G+∠GAC=90°,
∴∠GAC=∠GBE.
在△AEF和△BEG中
∠GAC=∠GBE
∠AEB=∠BEG
AE=BE
,
∴△AEF≌△BEG(AAS),
∴AF=BG,
∴AF=2BC;
②BC=
3
2
AF.
理由:解:如圖3,延長BC、AE交于點G,作BH⊥AG于H交AC于M
∴∠BHA=∠BHG=90°.
∴∠G+∠GBH=90°
∵△ADE是等腰直角三角形,
∴∠DAE=∠ADE=45°,AE=DE,∠AED=90°,
∴∠AED=∠BHA,
∴DE∥BH,
AD
AB
=
AF
AM

∵AD=
1
3
AB,
AF
AM
=
1
3

∴AM=3AF.
∵∠BAE+∠ABC+∠G=180°,且∠DAE=45°,∠ABC=67.5°,
∴∠G=67.5°.∠ABH=45°.
∴∠G=∠ABC,∠ABH=∠BAH
∴AB=AG,AH=BH.
∵∠ACB=90°,
∴BG=2BC,∠ACG=90°,
∴∠G+∠CAG=90°,∠AHM=∠BHG,
∴∠GBH=∠CAH.
在△AMH和△BGH中
∠AHM=∠BHG
∠CAH=∠GBH
AH=BH
,
∴△AMH≌△BGH(AAS),
∴AM=BG,
∴BG=3AF,
∴2BC=3AF,
∴BC=
3
2
AF.
點評:本題考查了等腰三角形的性質(zhì)的運用,等腰直角三角形的性質(zhì)的運用,全等三角形的判定及性質(zhì)的運用,平行線分線段成比例定理的運用,三角形內(nèi)角和定理的運用,解答時證明三角形全等是關(guān)鍵,作出合理的輔助線是難點.
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