Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），直線l是拋物線的對稱軸．
（1）求該拋物線的解析式．
（2）若過點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，求此直線的解析式．
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，且與y軸交于D（0，3），
∴假設(shè)二次函數(shù)解析式為：y=a（x-1）（x-3），
將D（0，3），代入y=a（x-1）（x-3），
得：3=3a，∴a=1，
∴拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）=x²-4x+3；

（2）∵過點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，
∴AC×BC=6，
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象經(jīng)過M（1，0）和N（3，0）兩點(diǎn)，
∴二次函數(shù)對稱軸為x=2，
∴AC=3，
∴BC=4，
∴B點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，4）或（2，-4），
一次函數(shù)解析式為；y=kx+b，當(dāng)點(diǎn)B為（2，4）時，
∴，
解得：，
∴；
當(dāng)點(diǎn)B為（2，-4）時，，
解得，
∴，
∴直線AB的解析式為：或；

（3）∵當(dāng)點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上，⊙P與直線AB和x軸都相切，
設(shè)⊙P與AB相切于點(diǎn)Q，與x軸相切于點(diǎn)C；
∴PQ⊥AB，AQ=AC，PQ=PC，
∵AC=1+2=3，BC=4，
∴AB=5，AQ=3，
∴BQ=2，
∵∠QBP=∠ABC，
∠BQP=∠ACB，
∴△ABC∽△PBQ，
∴，
∴，
∴PC=1.5，
P點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，1.5），
同理可得（2，-1•5），（2，-6），（2，6）．
分析：（1）根據(jù)函數(shù)圖象過x軸上兩點(diǎn)M（1，0）和N（3，0），設(shè)出函數(shù)兩點(diǎn)式，將D（0，3）代入解析式，求出a的值，即可求出函數(shù)解析式；
（2）根據(jù)過點(diǎn)A（-1，0）的直線AB與拋物線的對稱軸和x軸圍成的三角形面積為6，再由AC=3，BC=4，求出B點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出一次函數(shù)解析式；
（3）設(shè)⊙P與AB相切于點(diǎn)Q，與x軸相切于點(diǎn)C；證出△ABC∽△PBQ，得到，求出PC的長，即可求出P點(diǎn)坐標(biāo)．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的解析式及相似三角形的判定和性質(zhì)、切線的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解是解答此題的關(guān)鍵．