Question

如圖，把矩形紙片OABC放入直角坐標(biāo)系中，使OA，OC分別落在x軸y軸的正半軸上．連接AC，且AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，
（1）求A、C兩點的坐標(biāo)；
（2）求AC所在直線的解析式；
（3）將紙片OABC折疊，使點A與點C重合（折痕為EF），求折疊后紙片重疊部分的面積；
（4）求EF所在的直線的函數(shù)解析式；
（5）若過一定點P的任意一條直線h總能把矩形OABC的面積平均分成兩部分，求定點P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點：一次函數(shù)綜合題

專題：綜合題

分析：（1）因為AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，所以可求出OA=2OC，利用勾股定理可得AC²=OC²+OA²，由此即可求出OC=4，OA=8，進而求出A與C坐標(biāo)；
（2）可設(shè)AC的解析式為y=kx+b，利用待定系數(shù)法即可求出AC的解析式；
（3）可設(shè)AC與EF交于點G，由折疊知EF垂直平分AC，所以G是矩形ABOC的中心，所以FG=GE，利用EF、AC互相垂直平分，可得重合部分AECF是菱形，進而可設(shè)CF=x，則AF=x，BF=8-x，因為AB=4，∠B=90°，利用勾股定理，可求出x=5，即CF=5，求出重合部分的面積即可；
（4）由AC與EF垂直，根據(jù)直線AC斜率求出直線EF斜率，再由G坐標(biāo)，確定出直線EF解析式即可；
（5）根據(jù)題意得到P為矩形ABCO中心，即P與G重合，即可確定出P坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵AC=4

5

，tan∠OAC=

1

2

，∠COA=90°，
∴

OC

OA

=

1

2

，即OA=2OC，
∵AC²=OC²+OA²，
∴80=OC²+4OC²，
∴OC=4，OA=8，
∴A（8，0），C（0，4）；
（2）設(shè)AC的解析式為y=kx+b，
則

b=4 8k+b=0

，
∴

k=- 1 2 b=4

，
∴AC的解析式為y=-

1

2

x+4；
（3）設(shè)AC與EF交于點G，由折疊知EF垂直平分AC，所以G是矩形ABOC的中心，
∴FG=GE，
∴EF、AC互相垂直平分，
∴重合部分AECF是菱形，
設(shè)CF=x，則AF=x，BF=8-x，
∵AB=4，∠B=90°，
∴x²=4²+（8-x）²，
∴x=5，即CF=5，
∴重合部分的面積=5×4=20；
（4）∵AC⊥EF，直線AC斜率為-

1

2

，
∴直線EF斜率為2，
∵A（8，0），C（0，4），且G為AC中點，
∴G（4，2），
則直線EF解析式為y-2=2（x-4），即2x-y=6；
（5）根據(jù)題意得到P為矩形ABCO中心，即P與G重合，
則過一定點P的任意一條直線h總能把矩形OABC的面積平均分成兩部分，此時頂點P（4，2）．

點評：此題屬于一次函數(shù)綜合題，涉及的知識有：折疊的性質(zhì)，勾股定理，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，兩直線垂直時斜率滿足的關(guān)系，以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是解本題的關(guān)鍵．