Question

設(shè)a，b為整數(shù)，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β；那么，以α，β為根的整系數(shù)一元二次方程是

1. A.
   2x²+7x+6=0
2. B.
   2x²+x-6=0
3. C.
   x²+4x+4=0
4. D.
   x²+（a+b）x+ab=0

Answer 1

A
分析：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系知兩個(gè)方程的判別式皆為0，據(jù)此列出關(guān)于a、b的方程組，通過解方程組求得a、b的值；然后求得α、β值；然后根據(jù)它們的值求得所求的一元二次方程的解析式．
解答：∵a，b為整數(shù)，并且一元二次方程x²+（2a+b+3）x+（a²+ab+6）=0有等根α，而一元二次方程2ax²+（4a-2b-2）x+（2a-2b-1）=0有等根β，
∴（2a+b+3）²-4（a²+ab+6）=0，即（b+3）²=12（2-a），①
（4a-2b-2）²-8a（2a-2b-1）=0，即（b+1）²=2a，②
由①②得，7b²+18b-9=0，其整根為b=-3，
∴a=2；
∴兩個(gè)方程分別是：x²+4x+4=0和4x²+12x+9=0，
∴α=-2，，
∴以α，β為根的整系數(shù)一元二次方程是2x²+7x+6=0．
故選A．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數(shù)）根的判別式．當(dāng)△＞0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△=0，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)△＜0，方程沒有實(shí)數(shù)根．同時(shí)考查了不等式組的解．