Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O’的坐標(biāo)為（2，0），OO’與x軸交于原點(diǎn)O和點(diǎn)A，B、C、E三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（-1，0），（0，3）和（0，p），且0＜p≤3．
（1）求經(jīng)過點(diǎn)B、C的直線的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)E在線段OC上移動時，直線BE與⊙O有哪幾種位置關(guān)系？當(dāng)P分別在什么范圍內(nèi)取值時，直線BE與⊙O'是這幾種位置關(guān)系？
（3）設(shè)過點(diǎn)A、B、E的拋物線的頂點(diǎn)是D，求四邊形ABED的面積的最大或最小值．

Answer 1

分析：（1）已知了B、C的坐標(biāo)，可利用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式．
（2）直線與圓的位置關(guān)系有三種：相切、相交、相離，此題可先求出相切時p的值，然后再分段討論其他兩種情況；當(dāng)直線BE與⊙O′相切時，設(shè)切點(diǎn)為M，連接O′M，在Rt△BO′M中，BO′=3，O′M=2，利用勾股定理可求得BM的長，進(jìn)而由△BOE∽△BMO′得到的比例線段求出OE的長，也就求出了此時p的值，進(jìn)而可得到相交和相離時，p的取值范圍．
（3）根據(jù)圓心O′的坐標(biāo)及圓的半徑可求得A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)A、B、E三點(diǎn)坐標(biāo)，表示出該拋物線的解析式（含p的式子），然后將所得關(guān)系式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，即可得到頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；由于四邊形ABED的面積無法直接求得，可連接OD，將其面積分割成△BOE、△OED、△ODA三部分，可分別求出各部分的面積，進(jìn)而可得到四邊形ABED的面積表達(dá)式，然后利用p的取值范圍，可求出它的最大（�。┟娣e．

解答：解：（1）設(shè)B、C點(diǎn)所在直線為：y=kx+b，則有：

-k+b=0 b=3

?

k=3 b=3

；
∴所求直線為y=3x+3．

（2）直線BE與⊙O′有相離、相切、相交三種位置關(guān)系；
設(shè)BE切⊙O′于點(diǎn)M，連接O′M，必有∠O′MB=90°，
∴△BOP∽△BMO′，
∴OB：BM=OP：O′M，
∵O′M=2，O′B=3，
∴BM=

5

，
∴OP=

2 5

5

，
y軸為過O′O端點(diǎn)O和O′O垂直的直線；
∴當(dāng)0＜OP＜

2 5

5

時，BE與⊙O′相交；
OP=

2 5

5

時相切；

2 5

5

＜OP≤3時相離．

（3）點(diǎn)A坐標(biāo)（4，0），設(shè)過A、B、E點(diǎn)的拋物線為y=ax²+bx+c，有：

16a+4b+c=0 a-b+c=0 c=p

即

a=- p 4 b= 3p 4 c=p

；
∴拋物線解析式為y=-

p

4

x²+

3

4

px+p=-

p

4

（x-

3

2

）²+

25p

16

；
∴頂點(diǎn)D（

3

2

，

25p

16

）；
連接OD，則S_ABED=S_△BOE+S_△OED+S_△ODA
=

1

2

×1×p+

1

2

×p×

3

2

+

1

2

×4×

25p

16

=

35p

8

；
∵0＜p≤3，
∴p=3時，S_ABED有最大值為

105

8

．

點(diǎn)評：此題考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式的方法、圖形面積的求法、直線與圓的位置關(guān)系等知識，難度適中．