Question

已知：拋物線y=x+bx+c的頂點D在直線y=-4x上，且與x軸的交點A(-1,0),B,交y軸于點C，頂點為D. 

(1) 求拋物線的解析式及頂點D的坐標. 

(2)試判斷點C與以BD為直徑的⊙M的位置關系.

(3)若點P的坐標是（a,0）,是否存在a，使得直線PC是⊙M的切線？若存在，求出a的值,若不存在，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=x-2x-3,頂點D(1,-4) (2) 點C在⊙M上(3) 存在，-3/2

【解析】⑴y=x-2x-3,頂點D(1,-4),

 ⑵∵拋物線y=x-2x-3與x軸的校點為B(3,0)

∴BD中點M為（2，-2），

∵BD=,CM=,

∴BD=2CM ,

∴點C在⊙M上。

⑶存在。

過點M作MN⊥y軸于N點，

則MN=2,NC=1.

當PC與⊙M相切時，

∠MCP=∠COB=90°，

又∠AQC=∠CQP，

∴△QAC∽△QCP

∴∠CPO=∠MCO,

∴tan∠MCO=,tan∠CPO=,

∴OP=

 (1)首先求出拋物線的項點表達式，并把它代入直線方程中，然后把A點坐標代拋物線方程中，聯(lián)立解出b、c的值，從而得出拋物線的解析式，再求出拋物線與直線的交點D的坐標；

（2）先求出BD和CM的值，然后根據BD=2CM ,得出點C在⊙M上；

（3）存在.過點M作MN⊥y軸于N點，由PC與⊙M相切，得出△QAC∽△QCP，得出∠CPO=∠MCO，從而求OP的長度，得出a的值。