Question

20．如圖，已知△ABC和△CDE均是等邊三角形，點B、C、D在同一條直線上，BE與AD交于點O，AD與CE交于點N，AC與BE交于點M，連OC、MN，則下列結(jié)論①AD=BE；②AN=BM；③MN∥BD；④∠BOC=∠DOC；⑤若∠ADE=20°，則∠BED=100°；⑥OB=AO+OC，其中正確的結(jié)論個數(shù)有（　�。�

• A． 3個
• B． 4個
• C． 5個
• D． 6個

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，再求出∠ACD=∠BCE，然后利用“邊角邊”證明△ACD和△BCE全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AD=BE，判斷出①正確，全等三角形對應角相等可得∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，再求出∠ACN=∠BCM=60°，然后利用“邊角邊”證明△ACN和△BCM全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得AN=BM，CM=CN，判斷出②正確，根據(jù)全等三角形對應角相等可得∠BOC=∠ACN=60°，再求出∠DOC=60°，從而得到∠BOC=∠DOC，判斷出④正確；判斷出△CMN為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得∠CMN=60°，得到∠ACB=∠CMN，再根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得MN∥BD，判斷出③正確；求出∠ADC，即為∠BEC，再根據(jù)∠BED=∠BEC+∠CED計算即可得解，從而判斷出⑤正確；在BO上截取BH=AO，連接CH，通過△BCH≌△AOC，得到CH=CO，證得△HOC是等邊三角形，于是得到OH=OC，于是得到OB=OA+OC，⑥正確．

解答 解：∵△ABC和△CDE均是等邊三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠ACD=∠BCE}\\{CD=CE}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△BCE（SAS），
∴AD=BE，（故①正確）；
∠ADC=∠BEC，∠CAD=∠CBE，
∵∠ACN=180°-2×60°=60°，
∴∠ACN=∠BCM=60°，
在△ACN和△BCM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACN=∠BCM}\\{AC=BC}\\{∠CAD=∠CBE}\end{array}\right.$，
∴△ACN≌△BCM（ASA），
∴AN=BM，CM=CN，（故②正確）；
∠BOC=∠ACN=60°，
∵∠CBE+∠ADC=∠CBE+∠BEC=∠DCE=60°，
∴∠BOD=180°-（∠CBE+∠ADC）=180°-60°=120°，
∴∠DOC=∠BOD-∠BOC=120°-60°=60°，
∴∠BOC=∠DOC，（故④正確）；
∵∠ACN=60°，CM=CN，
∴△CMN為等邊三角形，
∴∠CMN=60°，
∴∠ACB=∠CMN=60°，
∴MN∥BD，（故③正確）；
∵∠ADE=20°，
∴∠ADC=∠CDE-∠ADE=60°-20°=40°，
∴∠BEC=40°，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=40°+60°=100°，（故⑤正確）；
在BO上截取BH=AO，連接CH，
在△BCH與△AOC中，$\left\{\begin{array}{l}{BC=AC}\\{∠CBH=∠CAD}\\{BH=AO}\end{array}\right.$，
∴△BCH≌△AOC，
∴CH=CO，
∵∠HOC=60°，
∴△HOC是等邊三角形，
∴OH=OC，
∵OB=BH+OH，
∴OB=OA+OC，（故⑥正確）．
故選D．

點評 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行線的判定，角平分線的定義，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．