Question

在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，將△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α（0＜α＜120°），得△A₁BC₁，交AC于點E，AC分別交A₁C₁、BC于D、F兩點．

（1）如圖①，觀察并猜想，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段EA₁與FC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論；

（2）如圖②，當(dāng)α=30°時，試判斷四邊形BC₁DA的形狀，并說明理由；

（3）在（2）的情況下，求ED的長．

 

　

Answer 1

【考點】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；解直角三角形．

【專題】幾何綜合題．

【分析】（1）根據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得∠A=∠C，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，然后利用“角邊角”證明△ABE和△C₁BF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得BE=BF，從而得解；

（2）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求出∠ABC₁=150°，再根據(jù)同旁內(nèi)角互補，兩直線平行求出AB∥C₁D，AD∥BC₁，證明四邊形BC₁DA是平行四邊形，又因為鄰邊相等，所以四邊形BC₁DA是菱形；

（3）過點E作EG⊥AB于點G，等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得AG=BG=1，然后解直角三角形求出AE的長度，再利用DE=AD﹣AE計算即可得解．

【解答】解：（1）EA₁=FC．理由如下：

∵AB=BC，∴∠A=∠C，

∵△ABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)角α得△A₁BC₁，

∴∠ABE=∠C₁BF，AB=BC=A₁B=BC₁，

在△ABE和△C₁BF中，，

∴△ABE≌△C₁BF（ASA），

∴BE=BF，

∴A₁B﹣BE=BC﹣BF，

即EA₁=FC；

 

（2）四邊形BC₁DA是菱形．理由如下：

∵旋轉(zhuǎn)角α=30°，

∠ABC=120°，

∴∠ABC₁=∠ABC+α

=120°+30°=150°，

∵∠ABC=120°，AB=BC，

∴∠A=∠C=（180°﹣120°）=30°，

∴∠ABC₁+∠C₁=150°+30°=180°，

∠ABC₁+∠A=150°+30°=180°，

∴AB∥C₁D，AD∥BC₁，

∴四邊形BC₁DA是平行四邊形，

又∵AB=BC₁，

∴四邊形BC₁DA是菱形；

 

（3）過點E作EG⊥AB，

∵∠A=∠ABA₁=30°，

∴AG=BG=AB=1，

在Rt△AEG中，AE===，

由（2）知AD=AB=2，

∴DE=AD﹣AE=2﹣．

【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，主要利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，以及解直角三角形，等腰三角形三線合一的性質(zhì)，難度不大，利用好旋轉(zhuǎn)變換只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小，找出相等的線段是解題的關(guān)鍵．