Question

10．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD中AD邊上的動(dòng)點(diǎn)，AB=2，以BE為邊畫正方形BEFG，連結(jié)CF和CE，則△CEF面積的最小值為$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 （方法一）過點(diǎn)F作FM⊥AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，令EF與CD的交點(diǎn)為N點(diǎn)，設(shè)AE=x．根據(jù)三角形的面積公式可知S_△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME，由此可知當(dāng)CN最小時(shí)△CEF的面積取最小值．根據(jù)給定的條件已經(jīng)角的計(jì)算找出“∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF”，從而證出△ABE≌△MEF，即得出MF=AE，ME=AB，再通過相似三角形的性質(zhì)用含x的關(guān)系式表示出DN的長(zhǎng)度，配方后即可找出DN的最大值，將其代入前面的面積公式中即可得出結(jié)論．
（方法二）連接CG，由正方形的性質(zhì)結(jié)合全等三角形的判定定理SAS即可證出△ABE≌△CBG，設(shè)AE=x，則S_{正方形BEFG}=4+x²，根據(jù)三角形的面積即可得出S_△CEF+S_BCG=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}，進(jìn)而得出S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}-S_BCG=2+$\frac{1}{2}$x²-S_△ABE=2+$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出當(dāng)x=1時(shí)，△CEF面積最小，最小值為$\frac{3}{2}$．

解答 解：（方法一）過點(diǎn)F作FM⊥AD延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，令EF與CD的交點(diǎn)為N點(diǎn)，如圖所示．

則S_△CEF=$\frac{1}{2}$CN•ME．
∵四邊形ABCD為正方形，四邊形BEFG為正方形，
∴∠A=90°，∠BEF=90°，BE=EF，
∴∠AEB+∠ABE=90°，∠MEF+∠MFE=90°，∠AEB+∠BEF+∠MEF=180°，
∴∠AEB=∠MFE，∠ABE=∠MEF．
在△ABE和△MEF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AEB=∠MFE}\\{BE=EF}\\{∠ABE=∠MEF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△MEF（ASA）．
∴MF=AE，ME=AB．
∵CD⊥AD，F(xiàn)M⊥AD，
∴ND∥FM，
∴△EDN∽△EMF，
∴$\frac{DN}{MF}=\frac{ED}{EM}$．
設(shè)AE=x，則ED=AD-AE=2-x，EM=AB=2，MF=AE=x，
∴DN=$\frac{ED•MF}{EM}$=-x²+x=-$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{1}{2}$≤$\frac{1}{2}$．
∴CN=CD-DN≥2-$\frac{1}{2}$≥$\frac{3}{2}$．
∴△CEF面積的最小值為$\frac{1}{2}$CN•ME=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×2=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．
（方法二）連接CG，如圖所示．
在△ABE和△CBG中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CB}\\{∠ABE=∠CBG}\\{BE=BG}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CBG（SAS）．
設(shè)AE=x，則BE²=AB²+AE²=4+x²，
∴S_{正方形BEFG}=BE²=4+x²．
∴S_△CEF+S_BCG=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}=2+$\frac{1}{2}$x²，
∴S_△CEF=$\frac{1}{2}$S_{正方形BEFG}-S_BCG=2+$\frac{1}{2}$x²-S_△ABE=2+$\frac{1}{2}$x²-x=$\frac{1}{2}$（x-1）²+$\frac{3}{2}$，
當(dāng)x=1時(shí)，△CEF面積最小，最小值為$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定及性質(zhì)、相似三角形的判定及性質(zhì)、三角形的面積公式及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出線段DN的最大值．本題屬于中檔題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，根據(jù)三角形的面積公式找出其去最值的條件，再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)去解決最值問題．