Question

如圖，正方形ABCD中，E為CD的中點，F(xiàn)為BC邊上一點，且EF⊥AE，AF的延長線與DC的延長線交于點G，連接BE，與AF交于點H，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）

A．AF=CF+BC
B．AE平分∠DAF
C．tan∠CGF=
D．BE⊥AG

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)E為CD的中點，且EF⊥AE，利用互余關(guān)系可證△ADE∽△ECF，由相似比可知FC：CE=DE：AD=1：2，設(shè)FC=1，則CE=DE=2，AD=AB=BC=4，根據(jù)線段的長度，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，逐一判斷．
解答：解：由E為CD的中點，設(shè)CE=DE=2，則AD=AB=BC=4，
∵EF⊥AE，
∴∠AED=90°-∠FEC=∠EFC，
又∵∠D=∠ECF=90°，
∴△ADE∽△ECF，
∴=，即=，解得FC=1，
A、在Rt△ABF中，BF=BC-FC=4-1=3，AB=4，由勾股定理，得AF=5，
則CF+BC=1+4=5=AF，本選項正確；
B、在Rt△ADE，Rt△CEF中，由勾股定理，得AE=2，EF=，
則AE：EF=AD：DE=1：2，又∠D=∠AEF=90°，
所以，△AEF∽△ADE，∠FAE=∠DAE，即AE平分∠DAF，本選項正確；
C、∵AB∥DG，∴∠CGF=∠BAF，∴tan∠CGF=tan∠BAF==，本選項正確；
D、∵AB≠AE，BF≠EF，∴BE與AG不垂直，本選項錯誤；
故選D．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．關(guān)鍵是用互余關(guān)系證明三角形相似，利用數(shù)量表示線段的長度．