Question

如圖，在平面直角坐標系中，拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），與y軸交于點C（0，4），頂點為（1，

9

2

）．

（1）求拋物線的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖①，設(shè)該拋物線的對稱軸與x軸交于點D，試在對稱軸上找出點P，使△CDP為等腰三角形，請直接寫出滿足條件的所有點P的坐標；
（3）如圖②，連結(jié)AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、B不重合），過點E作EF∥AC交線段BC于點F，連結(jié)CE，記△CEF的面積為S，求出S的最大值及此時E點的坐標．

Answer 1

（1）因為拋物線的頂點為（1，

9

2

），
所以設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=a （ x-1）²+

9

2

，
∵拋物線與y軸交于點C（0，4），
∴a（0-1）²+

9

2

=4．
解得：a=-

1

2

．
∴所求拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

．

（2）如圖①，過點C作CE⊥對稱軸于點E，
當CD=CP₁時，∵點C（0，4），頂點為（1，

9

2

），
∴CD=

42+12

=

17

，DE=4，
∴CP₁=

17

，EP₁=4，
∴P₁的坐標為：（1，8），
當CD=DP₂時，P₂的坐標為：（1，

17

），
當CP₃=DP₃時，
設(shè)CP₃=DP₃=y，
∴CE²+EP

23

=CP

23

，
∴1+（4-y）²=y²，
解得：y=

17

8

，
∴P₃的坐標為：（1，

17

8

），
當CD=DP₄時，
P₄的坐標為：（1，-

17

），
綜上所述：符合條件的所有P點坐標是：
（1，

17

），（1，-

17

），（1，8），（1，

17

8

）；

（3）令-

1

2

（x-1）²+

9

2

=0，
解得：x₁=-2，x₂=4，．
∴拋物線y=-

1

2

（x-1）²+

9

2

與x軸的交點為A（-2，0），B（4，0）．
過點F作FM⊥OB于點M．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．

MF

CO

=

EB

AB

．
又∵OC=4，AB=6，
∴MF=

BE

AB

×CO=

2

3

EB．
設(shè)E點坐標（x，0），則EB=4-x．MF=

2

3

（4-x），
∴S=S_△BCE-S_△BEF=

1

2

EB•CO-

1

2

EB•MF，
=

1

2

EB（OC-MF）=

1

2

（4-x）[4-

2

3

（4-x）]
=-

1

3

x²+

2

3

x+

8

3

=-

1

3

（x-1）²+3．
Qa=-

1

3

＜0，
∴S有最大值．
當x=1時，S_最大值=3．
此時點E的坐標為（1，0）．