如圖,以正方形ABCD的邊AB為直徑作⊙O,E是⊙O上的一點(diǎn),EF⊥AB于F,AF>精英家教網(wǎng)BF,作直線DE交BC于點(diǎn)G.若正方形的邊長為10,EF=4.
(1)分別求AF、BF的長.
(2)求證:DG是⊙O的切線.
分析:(1)已知直徑易知半徑.連接OE,在Rt△OEF中運(yùn)用勾股定理求OF,再求AF,BF;
(2)欲證DG為切線,則證OE⊥DG.連接OD,證明△OAD≌△OED即可.已有兩邊對(duì)應(yīng)相等,只需證明DE=AD.為此作EH⊥AD于H,運(yùn)用勾股定理可證.
解答:精英家教網(wǎng)(1)解:連接OE.
∵正方形邊長為10,AB是直徑,
∴OB=OE=5.
∵EF⊥AB,EF=4,
∴OF=
52-42
=3,
∴BF=2,AF=8;

(2)證明:連接OD,作EH⊥AD于H點(diǎn).
∵四邊形AFED為直角梯形,
∴EH=AF=8,HD=10-4=6.
∴DE=
62+82
=10.
∴AD=DE.
又OA=OE,OD公共邊,
∴△OAD≌△OED,
∴∠OED=∠OAD=90°,
∴DG是⊙O的切線.
點(diǎn)評(píng):此題考查了正方形的性質(zhì)、圓的切線的判定、勾股定理等知識(shí)點(diǎn),綜合性較強(qiáng),難度較大.
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