Question

15．在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于A（-3，0），B（0，-3）兩點，二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的圖象經(jīng)過點A．
（1）求一次函數(shù)y=kx+b的解析式；
（2）若二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$圖象的頂點在直線AB上，求m，n的值；
（3）當(dāng)-3≤x≤0時，二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值為-4，求m，n的值．

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法直接求出直線解析式；
（2）根據(jù)拋物線經(jīng)過點A，得到（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=0①，再由拋物線的頂點在直線AB上，得出$\frac{m}{2}$-3=$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$②，聯(lián)立解方程組即可；
（3）分拋物線的對稱軸-$\frac{m}{2}$＜-3，-3≤-$\frac{m}{2}$≤0，-$\frac{m}{2}$＞0三種情況討論計算．

解答 解：（1）∵一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸、y軸分別相交于A（-3，0），B（0，-3）兩點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=-3}\end{array}\right.$，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-x-3；
（2）∵二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的圖象經(jīng)過點A，
∴（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=0①，
∵二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$圖象的頂點在直線AB上，
∴頂點為（-$\frac{m}{2}$，$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$）
由（1）知，直線AB的解析式為y=-x-3，
∴$\frac{m}{2}$-3=$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$②，
由①②得，$\left\{\begin{array}{l}{m=6}\\{n=9}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m=4}\\{n=4}\end{array}\right.$，
（3）當(dāng)-3≤-$\frac{m}{2}$≤0，即：0≤m≤6時，
∵二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值為-4
∴$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4③，
聯(lián)立①③得，$\left\{\begin{array}{l}{m=10}\\{n=21}\end{array}\right.$（舍）或$\left\{\begin{array}{l}{m=2}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴m=2，n=-3；
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＜-3，即：m＞6時，
∴x=-3時，二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值為-4
∴（-3+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4④
此時①和④矛盾，所以不存在這種情況，
當(dāng)-$\frac{m}{2}$＞0，即：m＜6時，
∴x=0時，二次函數(shù)y=（x+$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$的最小值為-4
∴（$\frac{m}{2}$）²+$\frac{4n-{m}^{2}}{4}$=-4⑤，
聯(lián)立①⑤得，$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{5}{3}}\\{n=-4}\end{array}\right.$，
∴m=$\frac{5}{3}$，n=-4，
即：m=2，n=-3或m=$\frac{5}{3}$，n=-4．

點評 此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，解方程組，動拋物線的極值的確定，解本題的關(guān)鍵是用方程的思想解動拋物線問題．