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如圖1，已知正方形ABCD內一點O，OD=1，OA=2，OB=3，把△OAB繞著點A逆時針旋轉90°得到△PAD如圖．

（1）求點O到點P的距離．

（2）求∠AOD的度數．

解：（1）連接OP，
∵△OAB繞著點A逆時針旋轉90°，
∴AO=AP，∠PAO=90°，
∴△OPA為等腰直角三角形，
∴PO==2；

（2）由旋轉的性質可知，PD=OB=3，而OD=1，
在△POD中，∵PO2+OD2=8+1=9，
PD2=9，
∴PO2+OD2=PD2，
△POD為直角三角形，即∠POD=90°，
又∵△OPA為等腰直角三角形，∠POA=45°，
∴∠AOD=∠POD+∠POA=90°+45°=135°．
分析：（1）連接OP，由旋轉的性質證明△OPA為等腰直角三角形，利用勾股定理求OP即可；
（2）利用勾股定理的逆定理證明△OPD為直角三角形，可求∠AOD的度數．
點評：本題考查了旋轉的性質，勾股定理及正方形性質的運用．關鍵是作輔助線，將問題轉化為兩個特殊三角形求邊長及角的度數．
練習冊系列答案
相關習題

科目：初中數學 來源： 題型：

14、如圖1，已知正方形ABCD的邊CD在正方形DEFG的邊DE上，連接AE，GC．

（1）試猜想AE與GC有怎樣的位置關系，并證明你的結論；
（2）將正方形DEFG繞點D按順時針方向旋轉，使點E落在BC邊上，如圖2，連接AE和GC．你認為（1）中的結論是否還成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

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科目：初中數學 來源： 題型：

作圖題
（1）如圖1，已知?ABCD兩邊長分別是1和2，一個內角為60°，將?ABCD剪一刀成兩部分，并拼成一個等腰三角形．要求在原圖上畫出剪切線和組成的等腰三角形，并填寫等腰三角形的周長（本題不限作圖工具）
圖1，周長=
6
6
                      
圖2，周長=
2+2
17
2+2
17

（2）如圖2，已知正方形ABCD邊長為2，將正方形剪兩刀成三部分，并拼成一個等腰非直角三角形，要求在原圖上畫出剪切線和拼成的三角形，并填出等腰三角形的周長．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（2013•孝感）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為1，點E在邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．
（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；
（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在如圖2的直角坐標系中，當點E滑動到某處時，點F恰好落在拋物線y=-x2+x+1上，求此時點F的坐標．

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科目：初中數學 來源： 題型：

（1）如圖1，已知正方形ABCD與正方形DEFG，點A、D、E三點共線，則S△ADG
=
=
S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
（2）如圖2，將圖1中正方形DEFG繞點D，逆時針轉到如圖的位置，則S△ADG
=
=
S△DCE（填“＞”，“＜”或“=”）
請說明理由．
（3）如圖3，以△ABC三邊向外作三個正方形，分別為正方形AEDC、正方形CFGB正方形ABHK，并且△ABC的邊AC長為5，邊AB長為4，則三角形AKE，三角形CDF，三角形BGH的面積和的最大值為
30
30
．

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科目：初中數學 來源： 題型：

如圖1，已知正方形OABC的邊長為4，等腰直角三角板OEF的直角邊OE、OF分別在OA、OC上，且OE=2．將三角板OEF繞點O逆時針旋轉至OE1F1的位置，旋轉角為α，連接CF1、AE1．
（1）請在圖2中畫出三夾板OEF逆時針旋轉90°時的圖形，并直接判斷此時△OAE1與△OCF1是否全等．
（2）當0°＜α＜90°時，∠OAE1與∠OCF1是否總有上述關系并加以證明；
（3）若三角板OEF繞O點逆時針旋轉一周，是否存在某一位置，使得OE1∥CF1？若存在，請求出旋轉角α的度數；若不存在，請說明理由．

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