Question

11．如圖，已知△ABC的內(nèi)角∠A=α°，分別作內(nèi)角∠ABC與外角∠ACD的平分線，兩條平分線交于點(diǎn)A₁，得∠A₁；∠A₁BC和∠A₁CD的平分線交于點(diǎn)A₂，得∠A₂；…以此類推得到∠A₂₀₁₄，則∠A₂₀₁₄的度數(shù)是$\frac{1}{{2}^{2014}}$α．

Answer 1

分析 由三角形的外角性質(zhì)知：∠A=∠ACD-∠ABC，而∠A₁=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC），即∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，依此類推即可．

解答 解：△ABC中，∵∠A=∠ACD-∠ABC，A₁是∠ABC角平分與∠ACD的平分線的交點(diǎn)，∠A=α，
∴∠A₁=∠A₁CD-∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠ACD-∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A；
同理可得，∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=$\frac{1}{{2}^{2}}$∠A，
∠A₃=$\frac{1}{2}$∠A₂=$\frac{1}{{2}^{3}}$∠A，
…
依此類推，∠A_n=$\frac{1}{{2}^{n}}$∠A，即∠A_n=$\frac{α}{{2}^{n}}$．
∴∠A₂₀₁₄=$\frac{1}{{2}^{2014}}$α，
故答案為：$\frac{1}{{2}^{2014}}$α．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的是三角形內(nèi)角和定理及三角形外角的性質(zhì)，熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解答此題的關(guān)鍵．