Question

已知二次函數(shù)y=-x²+2x+k+2與x軸的公共點(diǎn)有兩個(gè)．求：
（1）求k的取值范圍；
（2）當(dāng)k=1時(shí)，求拋物線與x軸的公共點(diǎn)A和B的坐標(biāo)及頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（3）觀察圖象，當(dāng)x取何值時(shí)y＞0？

Answer 1

考點(diǎn)：拋物線與x軸的交點(diǎn),二次函數(shù)與不等式（組）

專題：

分析：（1）根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題得到△=2²-4×（-1）（k+2）＞0，然后解不等式即可．
（2）把k=1代入函數(shù)關(guān)系式，將該函數(shù)關(guān)系式轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式和頂點(diǎn)式方程，根據(jù)方程來解題；
（3）根據(jù)圖象直接寫出答案．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)y=-x²+2x+k+2與x軸的公共點(diǎn)有兩個(gè)，
∴△=2²-4×（-1）（k+2）＞0，
解得 k＞-3；

（2）把k=1代入函數(shù)關(guān)系得到：y=-x²+2x+3，
則y=-（x-3）（x+1），
故拋物線與x軸的公共點(diǎn)A和B的坐標(biāo)分別是（3，0）、（-1，0）．
又∵y═-x²+2x+3=-（x-1）²-4．
∴該拋物線頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是（1，4）；

（3）根據(jù)圖象知，當(dāng)-1＜x＜3時(shí)，y＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)的解析式的三種形式．三種形式分別為：
（1）一般式：y=ax²+bx+c（a≠0，a、b、c為常數(shù)）；
（2）頂點(diǎn)式：y=a（x-h）²+k；
（3）交點(diǎn)式（與x軸）：y=a（x-x₁）（x-x₂）．同時(shí)考查了拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)求法．