如圖,在?ABCD中,AB=6cm,AD=AC=5cm.點(diǎn)P由C出發(fā)沿CA方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s;同時,線段EF由AB出發(fā)沿AD方向勻速運(yùn)動,速度為1cm/s,交AC于Q,連接PE、PF.若設(shè)運(yùn)動時間為t(s)(0<t<5).解答下列問題:精英家教網(wǎng)
(1)當(dāng)t為何值時,PE∥CD?
(2)試判斷三角形PEF形狀,并請說明理由;
(3)當(dāng)0<t<2.5時.
①在上述運(yùn)動過程中,五邊形ABFPE的面積是否為定值?如果是,求出五邊形ABFPE的面積;如果不是,請說明理由;
②試求△PEQ的面積的取值范圍.
分析:(1)首先用t表示出AE、CP、AP的長,若PE∥CD,那么△APE∽△ACD,根據(jù)相似三角形所得比例線段即可求得此時t的值.
(2)由于AD=AC,且QE∥CD,所以△AQE也是等腰三角形,即AQ=AE,由P、Q的速度可知:CP=AE=AQ,進(jìn)而可求得CQ=AP,同理可證得△CFQ也是等腰三角形,即CF=CQ,由此得CF=AP,已求得AE=PC,而∠DAC=∠FCP,由此可證得△FCP≌△PAE,即可證得PF=PE,即△PEF是等腰三角形.
(3)①由(2)的全等三角形知:△AEP、△EPC的面積相等,因此五邊形的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積,所以五邊形的面積是個定值;
②由(1)的相似三角形,易求得QE的表達(dá)式,分別過C、P作AB、EF的垂線CG、PH,交AB于G,交EF于H,根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì),易求得AG、BG的值,進(jìn)而可求得∠ACG(即∠EPH)的余弦值,即可根據(jù)PQ的長表示出QE邊上的高PH的值,由三角形的面積公式,可得關(guān)于△PQE的面積和t的函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可得到△PQE的最大面積,從而求得其面積的取值范圍.
解答:(本題12分)
解:(1)由題意知AE=BF=CP=t,AP=5-t,
在?ABCD中,AD=BC=AC=5,AB=EF=CD=6,
當(dāng)PE∥CD時,△APE∽△ACD,
t
5
=
5-t
5
,
∴t=2.5.

(2)是等腰三角形.
證明:在?ABCD中,AD=BC=AC=5,AB=EF=CD=6,∴∠CAB=∠CBA,
∵AB∥EF,∴∠CQF=∠CAB,∠CFQ=∠CBA,
∴∠CFQ=∠CQF,∴CF=CQ,
∴AQ=BF=AE,∴AP=CQ=CF,
∵AD∥BC,∴∠PAE=∠FCP,
∴△PAE≌△FCP(SAS),∴PE=PF.

(3)①是定值,為12.
理由:由(2)的全等三角形知:S△AEP=S△PCF,即S五邊形BFPEA=S△ABC
過C作CG⊥AB于G,精英家教網(wǎng)
等腰△ACB中,AG=BG=3,AC=BC=5,則CG=4;
∴S五邊形BFPEA=S△ABC=
1
2
×6×4=12.
②∵QE∥AB∥CD,
∴△AQE∽△ACD,
QE
CD
=
AE
AD
,即
QE
6
=
t
5
,QE=
6t
5

過P作PH⊥EF于H,
由①易得:cos∠APH=cos∠ACG=
4
5
,
故PH=
4
5
PQ=
4
5
(5-2t);
設(shè)△PEQ的面積為y,則y=
1
2
6
5
t•
4
5
(5-2t)=-
24
25
t2+
12
5
t=-
24
25
(t-
5
4
)2+
3
2
,
∴當(dāng)t=
5
4
時,y最大=
3
2
,
0<S△PEQ
3
2
點(diǎn)評:此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識,綜合性強(qiáng),難度較大.
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29
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4
cm.

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拓展:如圖③,在?ABCD中,AD=BD,點(diǎn)O是AD邊的垂直平分線與BD的交點(diǎn),點(diǎn)E、F分別在OA、AD的延長線上.若AE=DF,∠ADB=50°,∠AFB=32°,求∠ADE的度數(shù).

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2
13
+4
2
13
+4

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