Question

19．解方程x²-2x+3-$\frac{6}{{{x^2}-2x+3}}$=1時，可設(shè)x²-2x+3=y，則原方程可化為y-$\frac{6}{y}$=1，去分母后解得y₁=-2，y₂=3，當y=-2時，x²-2x+3=-2，因△＜0，此方程無解，當y=3時，x²-2x+3=3，解得x₁=0，x₂=2．仿上求方程x²+3x-$\frac{3}{{{x^2}+3x-7}}$=9的所有根的乘積為24．

Answer 1

分析 設(shè)x²+3x-7=y，則原方程可化為y-$\frac{3}{y}$=2，解得y₁=-1，y₂=3，當y=-1時，x²+3x-7=-1，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解得x₁•x₂=-6，當y=3時，x²+3x-7=3，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系解得x₃•x₄=-4，即可求得所有根的乘積為24．

解答 解：x²+3x-$\frac{3}{{{x^2}+3x-7}}$=9，
設(shè)x²+3x-7=y，則原方程可化為y-$\frac{3}{y}$=2，
化成整式方程為：y²-2y-3=0，
解得y₁=-1，y₂=3，
當y=-1時，x²+3x-7=-1，則x²+3x-6=0，
∵△＞0，
∴x₁•x₂=-6，
當y=3時，x²+3x-7=3，則x²+3x-4=0，
∵△＞0，
∴x₃•x₄=-4，
∴x₁•x₂•x₃•x₄=24．
故答案為24．

點評 此題考查了換元法解分式方程，用換元法解一些復(fù)雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設(shè)出相應(yīng)未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化，注意求出方程解后要驗根．