Question

（2013•莘縣模擬）如圖，在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，弦CE⊥AB于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)D的切線交EC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，連接AD，分別交CE、CB于點(diǎn)P、Q，連接AC．給出下列結(jié)論：
①∠BAD=∠ABC；②AD=CB；③點(diǎn)P是△ACQ的外心；④GP=GD；⑤CB∥GD．
其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：由于

AC

與

BD

不一定相等，根據(jù)圓周角定理可知①錯(cuò)誤；
由于

AC

與

BD

不一定相等，那么

AD

與

BC

也不一定相等，根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理可知②錯(cuò)誤；
先由垂徑定理得到A為

CE

的中點(diǎn)，再由C為

AD

的中點(diǎn)，得到

CD

=

AE

，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角對(duì)等邊可得出AP=CP，又AB為直徑得到∠ACQ為直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn)，即為直角三角形ACQ的外心，可知③正確；
連接OD，利用切線的性質(zhì)，可得出∠GPD=∠GDP，利用等角對(duì)等邊可得出GP=GD，可知④正確；
由于

AD

與

BC

也不一定相等，而由垂徑定理可得出

BC

=

BE

，則

AD

與

BE

不一定相等，∠GDA與∠BCE不一定相等，又∠BCE即∠PCQ=∠PQC，所以∠GDA與∠PQC不一定相等，可知⑤錯(cuò)誤．

解答：解：∵在⊙O中，AB是直徑，點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)C是弧AD的中點(diǎn)，
∴

AC

=

CD

≠

BD

，
∴∠BAD≠∠ABC，故①錯(cuò)誤；

∵

AC

≠

BD

，
∴

AC

+

CD

≠

BD

+

CD

，
即

AD

≠

BC

，
∴AD≠BC，故②錯(cuò)誤；

∵弦CE⊥AB于點(diǎn)F，
∴A為

CE

的中點(diǎn)，即

AE

=

AC

，
又∵C為

AD

的中點(diǎn)，
∴

AC

=

CD

，
∴

AE

=

CD

，
∴∠CAP=∠ACP，
∴AP=CP．
∵AB為圓O的直徑，
∴∠ACQ=90°，
∴∠PCQ=∠PQC，
∴PC=PQ，
∴AP=PQ，即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn)，
∴P為Rt△ACQ的外心，故③正確；

連接OD，
則OD⊥GD，∠OAD=∠ODA，
∵∠ODA+∠GDP=90°，∠EPA+∠FAP=∠FAP+∠GPD=90°，
∴∠GPD=∠GDP；
∴GP=GD，故④正確；

∵CE⊥AB，
∴

BC

=

BE

，
∵

AD

≠

BC

，
∴

AD

≠

BE

，
∴∠GDA≠∠BCE，
又∵∠BCE=∠PQC，
∴∠GDA≠∠PQC，
∴CB與GD不平行，故⑤錯(cuò)誤．
綜上可知，正確的結(jié)論是③④，一共2個(gè)．
故選B．

點(diǎn)評(píng)：此題是圓的綜合題，其中涉及到切線的性質(zhì)，圓周角定理，垂徑定理，圓心角、弧、弦的關(guān)系定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的外接圓與圓心，平行線的判定，熟練掌握性質(zhì)及定理是解決本題的關(guān)鍵．