Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx﹣2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，已知A（﹣1，0），且tan∠ABC=.

（1）求拋物線的解折式．

（2）在直線BC下方拋物線上一點(diǎn)P，當(dāng)四邊形OCPB的面積取得最大值時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

（3）在y軸的左側(cè)拋物線上有一點(diǎn)M，滿足∠MBA=∠ABC，若點(diǎn)N是直線BC上一點(diǎn)，當(dāng)△MNB為等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解折式為y=x2﹣x﹣2；

（2）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）；

（3）點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣ ）或（8， ）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．

【解析】試題分析：（1）由解析式求得C的坐標(biāo)，然后根據(jù)tan∠ABC=求得OB=3，從而求得B的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)待定系數(shù)法即可求得解析式；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，設(shè)P（x，x2﹣2x﹣3），易得，直線BC的解析式為y=x﹣3則Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣3），再根據(jù)S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ即可得出結(jié)論．

（3）根據(jù)題意求得M的坐標(biāo)，然后分三種情況討論求得即可．

解：（1）由拋物線y=ax2+bx﹣2可知C的坐標(biāo)為（0，﹣2），

∴OC=2，

∵tan∠ABC==

∴OB=3，

∴B（3，0），

∵A（﹣1，0），

把A、B的坐標(biāo)代入y=ax2+bx﹣2得：

解得，

∴拋物線的解折式為y=x2﹣x﹣2；

（2）過點(diǎn)P作y軸的平行線與BC交于點(diǎn)Q，與OB交于點(diǎn)E，

設(shè)P（x，x2﹣x﹣2），

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），

∵B（3，0），C（0，﹣2），

∴，

解得，

∴直線BC的解析式為y=x﹣2．

∴Q點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，x﹣2），

∴S四邊形ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ

=ABOC+QPOE+QPEB

=×4×2+（2x﹣x2）×3

=﹣x2+3x+4

=﹣（x﹣）2+，

∴當(dāng)x=時(shí)，四邊形ABPC的面積最大，最大面積為．此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，﹣）．

（3）設(shè)直線AM交y軸于D，

∵∠MBA=∠ABC，

∴OD=OC=2，

∴D（0，2），

設(shè)直線AM的解析式為y=mx+2，

代入B（3，0）得0=3m+2，解得m=﹣，

∴直線AM的解析式為y=﹣x+2，

解得或，

∴M（﹣2，），

設(shè)N（x，x﹣2），

∵BM2=（3+2）2+（）2，MN2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，BN2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

當(dāng)MB=BN時(shí)，N（﹣2，﹣）或（8，）；

當(dāng)MB=MN時(shí)，則（3+2）2+（）2=（x+2）2+（x﹣2﹣）2，

整理得13x2﹣28x﹣33=0，

解得x1=3，x2=﹣，

∴N（﹣，﹣）；

當(dāng)BN=MN時(shí)，（x+2）2+（x﹣2﹣）2=（x﹣3）2+（x﹣2）2，

整理得10x=﹣35，

解得x=﹣

∴N（﹣，﹣）；

綜上，點(diǎn)N的坐標(biāo)為（﹣2，﹣）或（8，）或（﹣，﹣）或（﹣，﹣）．